Sinais distorçoes harmonicas

        O objetivo desse trabalho é estudar a representação de sinais periódicos como uma soma ponderada de sinais sinusoidais com frequências múltiplas da frequência do sinal periódico, isto é, o estudo da Série de Fourier.

        A série de Fourier foi desenvolvida por Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), mas o trabalho foi inicialmente rejeitado, já que uma prova rigorosa não foi apresentada. Fourier apresentou posteriormente os resultados sobre a série no seu livro Teoria do Calor. P. L. Dirichlet em 1829 apresentou as condições precisas sob as quais um sinal periódico pode ser representado através da série de Fourier. A teoria de Fourier revelou-se como a base de muitos métodos de análise em física e engenharia.

1. Segundo o sinal x(t) = 3cos (2π1000t)

1. A amplitude do sinal x(t) é 3.
2. A freqüência do sinal x(t) é 1000Hz, pois, ω = 2πƒ, então ƒ = 1000Hz.
3. O período do sinal x(t) é 1ms, pois T = 1/ƒ.
4. O gráfico que ilustra o sinal x(t) para 3 ciclos é:

[pic 1]

1. De acordo com o gráfico nota-se que o eixo x (que está na unidade de ms) demonstra que a cada período temos o valor de 1ms.
2. O espectro bilateral pode ser determinada através da função:

Acos( 2πƒot +∅) = A/2 ej2πƒot ej∅ + A/2 e-j2πƒot e-j∅

3cos(2π1000t+0) = 3/2 ej2π1000t ej0 + 3/2 e-j2π1000t e-j0

1,5 ej2π1000t + 1,5 e-j2π1000t 

[pic 2]

1. Por definição a freqüência é positiva, a representação negativa serve p/ expressar o espectro em ω = -nωo, ou seja, indica que componentes e-jnωot existem na série de Fourier.

1. Segundo o sinal x(t) = 3 cos (2π1000t) + 2 cos (2π2000t)

1. A amplitude do sinal x(t) é 5, pois vem da soma de 3 no primeiro termo com 2 no segundo termo.
2. A freqüência do sinal x(t) é 1000Hz, pois, a freqüência fundamental para os dois sinais é 1000Hz.
3. O período do sinal x(t) é 1ms, pois T = 1/ƒ.
4. O gráfico que ilustra o sinal x(t) para 3 ciclos é:

[pic 3]

1. De acordo com o gráfico nota-se que o eixo x (que está na unidade de ms) demonstra que a cada período temos o valor de 1ms.
2. O espectro bilateral resulta em:

1,5 ej2π1000t + 1,5 e-j2π1000t + ej2π2000t + e-j2π2000t 

[pic 4]

1. Segundo o sinal x(t) = 1 + 3 cos (2π1000t) + 2 cos (2π2000t) + cos (2π3000t)

1. A amplitude do sinal x(t) é 7, pois vem da soma de 1 no primeiro termo, 3 no segundo termo, 2 no terceiro termo e 1 no quarto termo.
2. A freqüência do sinal x(t) é 1000Hz, pois, a freqüência fundamental para os dois sinais é 1000Hz.
3. O período do sinal x(t) é 1ms, pois T = 1/ƒ.
4. O gráfico que ilustra o sinal x(t) para 3 ciclos é:

[pic 5]

1. De acordo com o gráfico nota-se que o eixo x (que está na unidade de ms) demonstra que a cada período temos o valor de 1ms.
2. O espectro bilateral resulta em:

1+ 1,5 ej2π1000t + 1,5 e-j2π1000t + ej2π2000t + e-j2π2000t + 0,5ej2π2000t + 0,5e-j2π2000t 

[pic 6]

1. A freqüência fundamental é 1000Hz. E suas múltiplas estão de acordo com o valor da constante K.

1. Nesse exercício é analisado a série de Fourier para um sinal x(t), dado por:

X(t) = ∑  Xk ej2πkƒt  (para k=-∞ até k=∞)

Xk = (h * a / T) * sinc (k * ƒ * a)

        Com:

        h=2

        a=1ms

        T=2ms

        

1. Traçar o gráfico de 3 ciclos da soma das primeiras 5 harmônicas do trem de pulsos x(t):

[pic 7]

1. Conforme mostra o gráfico a aproximação do trem de pulsos é de uma onda quadrada, vinda do somatório da multiplicação de uma exponencial por uma função sinc (x).
2. Quanto maior for o número de termos da soma, mais o resultado se aproximará da onda quadrada.
3. Comprovando o exposto na letra b e c, segue as duas figuras seguintes. A primeira com o numero de harmônicas em 10, a segunda com o numero de harmônicas em 50:

[pic 8][pic 9]

[pic 10]

        O programa para executar os gráficos da questão 5,as série de Fourier segue abaixo:

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