Sugestões para parametrização de algumas curvas ou superfícies

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   Sugestões para parametrização de algumas curvas ou superfícies.

        Na última aula presencial observei que apesar de já estar no contexto apresentado, seria conveniente salientar como obter uma parametrização (e o seu uso) para uma curva ou superfície que seja gráfico de  função.

• Se a curva plana C é dada pela função  y = f(x)  de domínio D com D contido em IR, podemos obter uma parametrização para C fazendo (x = t) o parâmetro igual á  variável independente  e usando a função. Essa parametrização é dada pela função vetorial

r(t) = ( t, f(t) ),  t[pic 1]D

ou mesmo

r(x) = ( x, f(x) ),  x[pic 2]D

Neste caso, o vetor velocidade é v(t) = r’(t) = (1, f ‘(t) ) ou  v(x) = r’(x) = (1, f ‘(x) ) e o seu módulo é  |v(t)| = |r’(t)| = [pic 3]  ou  |v(x)| = |r’(x)| = [pic 4]

                                               

Exemplo:  C é a curva dada pela função  y = f(x) = [pic 5] com 1 < x < 5 ( ou  x[pic 6][1, 5] )

  Temos: f ‘(x) = [pic 7] [pic 8]

              C :. r(t) = ( t, [pic 9]) ,  1< t < 5

              ou  C :. r(x) = ( x, [pic 10]) ,  1< x < 5

              v(t) = r’(t) = (1, [pic 11] )

             ou   v(x) = r’(x) = (1, [pic 12] )

             e

             |v(t)| = |r’(t)| = [pic 13]   ou   |v(x)| = |r’(x)| = [pic 14]

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Se  C é uma curva no espaço dada pelas funções  y = f(x)  e z = g(x) ambas de domínio D com D contido em IR, podemos obter uma parametrização para C fazendo (x = t) o parâmetro igual á  variável independente  e usando as funções. Essa parametrização é dada pela função vetorial

r(t) = ( t, f(t), g(t) ),  t[pic 15]D

ou mesmo

r(x) = ( x, f(x), g(x) ),  x[pic 16]D

Assim, o vetor velocidade é  v(t) = r’(t) = (1, f ‘(t), g’(t) ) ou  v(x) = r’(x) = (1, f ‘(x), g’(x) ) e o seu módulo é  |v(t)| = |r’(t)| = [pic 17] 

 ou  |v(x)| = |r’(x)| = [pic 18]

Exemplo:   C é a curva no espaço dada pelas equações  y - x2 = 0 e  z – y = 0, com -2<x<2.

[pic 19]

Como trata-se de uma curva no espaço as equações

são  a  três variáveis  e  representam superfícies  no

espaço (conforme gráfico ao lado), sendo:

y - x2 = 0  =>  “calha”  em azul

z – y = 0,  =>  plano em vermelho

C é a intersecção das duas superfícies em rosa.

Das equações dadas vem que, y = x2  e z = y = x2,

de onde podemos obter a parametrização

 

       C :. r(t) = (t, t2, t2),  -2 < t < 2.

ou

       C :. r(x) = (x, x2, x2),  -2 < x < 2.

com vetor velocidade v(t) = r’(t) = (1, 2t, 2t ) ou v(x) = r’(x) = (1, 2x, 2x ) cujo módulo é  v(t)| = |r’(t)| =[pic 20]= [pic 21]  ou  |v(x)| = |r’(x)| = [pic 22]. Observe que nesse exemplo as funções  f  e  g  são iguais. Observe, ainda, que o parâmetro não necessariamente é igualado a  x, Podemos igualá-lo a qualquer uma das variáveis e, naturalmente, vamos escolher aquela que resulte em funções mais simples.