Série Trigonométrica de Fourier

Universidade Estadual de Minas Gerais - UEMG

Campus Ituiutaba

Curso Superior em Engenharia Elétrica 4° Período

Disciplina: Circuitos Elétricos III

Séries Trigonométricas de Fourier

Gesiel Almeida Oliveira Silva

João Paulo Santos Felix

Thales Divino Vilela da Silva Lemes

William Henrique Andrade

Professor: Alan Kardec Candido dos Reis

Ituiutaba (MG)

Julho – 2017

Séries Trigonométricas

As séries de Fourier são uma forma de representar funções como séries infinitas de senos e cossenos. Sua forma geral é a seguinte:

[pic 1]

Os termos a0, an e bn são coeficientes que variam dependendo da função que será representada. O n representa o índice da séria, ou seja, fazendo n = 1,2,3... encontramos os termos do somatório. O termo L representa o período da função que será expressada

Os coeficientes são calculados das seguintes formas:

[pic 2]

[pic 3]

[pic 4]

Para o cálculo da série antes precisamos definir se a série é par, ímpar ou assimétrica. Para cada tipo de existe um modo de calcular:

• Série Par: , portanto será necessário o cálculo apenas de a0 e an.[pic 5]
• Série Ímpar: , portanto será necessário calcular apenas bn.[pic 6]
• Série Assimétrica: Será preciso calcular todos os coeficientes, a0, an e bn.

Séries Exponenciais de Fourier

Se for expresso cada um dos termos seno e cosseno da série trigonométrica por seu equivalente exponencial, o resultado é uma série de termos exponenciais

[pic 7]

Simetria da Forma de Onda

Reconhecer uma serie por sua simetria facilita e reduz consideravelmente os cálculos na determinação de uma série de Fourier, e para isso é preciso saber algumas definições:

Função Par: Uma função F(x) é par se  F(x) = F(-x).[pic 9][pic 8]

                                 [pic 10]

                                [pic 11]

                                [pic 12]

Função Ímpar: Uma função F(x) é impar  F(x) = - F(-x).[pic 14][pic 13]

                                [pic 15]

                                [pic 16]

                                 

Função Simetria Meia-Onda: Não é nem par nem ímpar.[pic 17]

                                [pic 18]

                                [pic 19]

                                [pic 20]

Conclusão:

• Par: Todos os termos da série de Fourier são cossenos;
• Ímpar: Todos os termos da série de Fourier são senos;
• Meia-onda: Somente harmônicos ímpares, ambos os termos seno e cosseno.

Espectro de Raias

É o nome dado à relação Amplitude X Frequência. Séries descontínuas (Dente de serra, quadrada) tem espectros com amplitudes que caem lentamente, os seus 10° harmônicos terão amplitude significativa em relação a fundamental, ondas contínuas convergem muito rapidamente e será evidente, pois as amplitudes acima da 5° ou 6° harmônicas são insignificantes em relação a fundamental.

[pic 21]

Síntese das Formas de Onda

“É a recombinação de termos de uma serie trigonométrica, em geral, os primeiros quatro ou cinco a fim de produzir a onda original. ” (Edminister, p.272, 1985).

Quando os termos de uma série de Fourier são unidos por tratar-se uma serie trigonométrica eles não são lineares, ou seja, essa onda possui descontinuidade deixando de ser convergente, entretanto se formos adicionando termos a síntese ela torna-se cada vez mais diminui-se as irregularidades e aproximando-se da onda original da função utilizada, assim “uma serie converge para a função onde todos os pontos são continuidade e para um valor médio nos pontos de descontinuidade. “ (Edminister, p.272, 1985)