Trabalho de Estruturas Algebricas

INTRODUÇÃO

O devido trabalho tem por finalidade tratar do conceito de estruturas algébricas, sua finalidade e como são realizadas suas classificações.

As diversas propriedades que são trabalhadas, como são definidas e o porquê de usá-las.

Os tipos de classificação e sua subdivisão:

• Grupos e subgrupos
• Anéis
• Módulos

O objetivo deste estudo é a classificação de grupos e subgrupos; como fazer para saber se há associatividade, comutatividade, onde está o elemento neutro, multiplicativo, matrizes e permutações.

Estruturas Algébricas

Estruturas  algébricas consiste num conjunto associado a uma ou mais operações sobre o conjunto que satisfazem certos axiomas. Além do conjunto principal, existe mais um conjunto que é denominado conjunto dos escalares. A esse conjunto existirá dois tipos de operações: as operações internas, que operam os objetos principais entre si e a operações externas, que representam ações dos escalares sobre elementos do conjunto principal.

Dependendo das operações e axiomas, as estruturas algébricas ganham nomes e classificação específica:

Conforme abaixo:

Classificação dos Grupos:

Semigrupo:

• Monóide
• Grupo
• Grupo solúvel
• Grupos nilpotentes
• Grupo abeliano (grupo comutativo)
• Grupo cíclico

Classificação dos anéis

• Anel comutativo
• Domínio de integridade (anel de integridade)
• Domínio de fatoração única (anel fatorial)
• Domínio principal
• Domínio euclidiano
• Corpo

Classificação dos módulos

• Módulo finitamente gerado
• Módulo cíclico

• Álgebra sobre um anel
• Espaço vetorial

• Álgebra sobre um corpo

Trataremos da classificação dos grupos e subgrupos.

Conceito de grupo:

Um sistema matemático constituído de um conjunto não vazio G e uma operação (x,y)⇒ x *y sobre G é chamado grupo se operação sujeita aos seguintes axiomas:

Associatividade

(a*b)*c = a*(b*c), quaisquer que sejam a, b, c ∈ G ;

Existência de elemento neutro

Existe um elemento  e∈ G tal que a *e = e*a = a , qualquer que seja a ∈G;

Existência de simétricos

Para todo a ∈ G existe um elemento a’ ∈ G tal que a*a’=a’*a=e.

Comutatividade

a*b = b*a, quaisquer que sejam a, b ∈ G, o grupo recebe o nome de grupo comutativo ou abeliano.

Mantidas as notações da definição, um grupo poderá ser indicado apenas por (G, *). O * indica a operação sobre G.

PROPRIEDADES IMEDIATAS DE UM GRUPO

Seja (G,*) um grupo. As propriedades de um conjunto nos asseguram:

• A unicidade do elemento neutro de (G,*);
• A unicidade do simétrico de cada elemento de G;
• Que, se e é o elemento neutro, então e’=e;
• Que (a’)’ = a, qualquer que seja a ∈ G

Podemos demonstrar que.

• No grupo G, a equação a*x= b (x*a=b) tem um conjunto solução unitário, constituído do elemento a’*b.

Consideremos a*x = b. Substituindo-se x por a’*b no primeiro membro da equação, obtém-se

a*(a’*b) = (a*a’)*b = e *b = b . O que garante que efetivamente a’ * b é solução da equação.

O grupo cuja operação é uma “adição” será chamado de grupo aditivo, se a operação é uma multiplicação, de um grupo multiplicativo. No caso de grupo aditivo, o simétrico de um de um elemento a é chamado oposto de a e indicado por  –a; e , no caso de um grupo multiplicativo , inverso de a e denotado por a-1.

Grupos Finitos

Um grupo (G,*) em que o conjunto G é finito, chama-se grupo finito. O número de elementos de G é chamado ordem do grupo (notação o (G)) e a tábua da operação * se denomina tábua de grupo, o usar da tábuas para representar grupos foi do inglês Arthur Cayley, que valorizava sobremodo os aspectos formais da matemática, também ele realizou a introdução das matrizes na matemática.

Exemplo :

É fácil verificar que G={-1,+1} é um grupo multiplicativo. Sua ordem obviamente é 2 e sua tábua:

.	1	-1
1	1	-1
-1	-1	1

        Alguns grupos importantes        

1. Grupo aditivo dos inteiros (comutativo)

Sistema formado pelo conjunto dos inteiros e a adição usual sobre esse conjunto, no qual a adição é uma operação sobre Z, associativa e comutativa, tendo um elemento neutro para ela o número zero, o oposto - a de um elemento a ∈ Z também pertence a esse conjunto.

1. Grupo aditivo dos racionais (comutativo)

Sistema formado por Q e a adição usual sobre esse conjunto. Usa-se o mesmo procedimento do exemplo anterior.

1. Grupo aditivo dos reais (comutativo)

Sistema formado por ℜ e a adição usual sobre o conjunto. Usa-se o mesmo procedimento do exemplo da letra a.

1. Grupo aditivo dos complexos (comutativo)

A soma de dois números complexos z=a+bi e w=c+di é definida por z+w=(a+b)+(c+d)i.  Facilmente consegue verificar a associativa. O elemento neutro dessa operação verifica assim 0=0+0.i, enfim todo complexo z=a+bi, o numero complexo –z=(-a)+(-b)i é seu oposto, podendo verificar sem nenhuma dificuldade.