UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

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TEORIA DE CONTROLE 2

Professora: Fernanda Cristina Corrêa

Tema: Projeto de compensadores

Felipe Rodrigues de Vargas Ferreira – 1373064

Dada a função de transferência em cascata com um zero order hold e realimentação unitária:

[pic 1]

Projete um controlador cujo coeficiente de amortecimento seja ζ >= 0.5 e possua Ts < 3s e erro para entrada a degrau nulo. Considere T = 0.2.

1. Trace o root locus do sistema discretizado original;

[pic 2]

1. Calcule os polos dominantes desejados no plano S;

[pic 3]

1. Mapeie os polos para o plano Z;

[pic 4]

1. Verifique se a frequência de amostragem é suficiente para o sistema;

Temos:

wn = 4/(zeta*te) = 2.667(calculando wn, zeta = 0.5 e te = 3)

Ta = 2*pi/wn = 2.3562 (tempo de amostragem para a frequencia w)

ff = 1/Ta = 0.4244 (frequencia fundamental)

fa = 20*ff = 8.4883 (frequencia de amostragem)

Ts = 1/fa = 0.1178 (tempo de amostragem para a freqeuncia de amostragem, verificando se o tempo empregado anteriormente está correto, verificando que não estava, logo recalcularemos  Z para o novo tempo de amostragem obtido, aproximando para 0.11)

[pic 5]

1. Calcule a contribuição angular dos polos e zeros da planta;

[pic 6]

1. Arbitre a posição do polo do compensador. Justifique a escolha;

Na  verdade deveremos arbritar a posição do zero do compensador, para que assim um dos polos da planta se cancele com o zero do controlador, logo alpha será igual ao maior polo (em modulo) da planta: Alpha = -0.896 (valor obtido a partir do pzmap)

1. Calcule o zero do compensador;

Como visto no exercicio anterior o zero já foi determinado, porém irei demonstrar os calculos do polo do compensador:

tetak = -pi-Tetag = -0.7353 (achando a fase do controlador para calcular beta)

tetanumk = angle(z + alpha) = 1.8411 (fase do numrador)

tetadenk = -tetak + tetanumk = 2.5764 (fase do denominador)

tgdenk = tan(tetadenk) = -0.6342 (tg da fase do den)

visto que zs =  0.8359 + 0.2170i temos:

beta = (0.2170/tgdenk) - 0.8359 = -1.1780 (calculo do beta)

1. Encontre o ganho do compensador;

Determinado através de:

mk = abs((zs + alpha)/(zs +beta)) = 0.5558 (modulo do compensador)

k = 1/(Mgzs*mk) = 1.6937 (ganho do compensador)

1. Num mesmo gráfico, trace a resposta ao degrau do sistema original e do sistema compensado. O sistema atendeu as especificações?

[pic 7]

Sim, o sistema não tem mais overshoot e está bem mais estável. (curva com o compensador é a azul)

1. Encontre a equação diferença que implementa o controlador calculado;

[pic 8]

        Para calcular a equação das diferenças temos que: Ks = U(z)/E(z), logo:

E(z)*(1.694z – 1.518) = U(z)*(z – 1.178) aplicando inversa: (para e(0) = u(0) = 0)

1.694*e(k + 1) – 1.518*e(k) = u(k+1) – 1.178*u(k), organizando de uma forma melhor:

e(k + 1) = 0.590*u(k +1) – 0.695*u(k) + 0.896*e(k)

1. Trace o root locus do sistema compensado.

[pic 9]