Vibração Simples de um Pendulo

[pic 1]

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

Departamento de Engenharia Mecânica

Vibrações Mecânicas

Prática 1: Vibrações Livres Para Sistemas Com Um Grau de Liberdade - Movimento Harmônico

Daniel Dias Gomes Xavier

Rafael Soares Ferreira

João Vitor Barbosa Catone

Belo Horizonte, 27 de Março de 2019

1. Introdução:

Movimento harmônico é o tipo de movimento periódico em que variação da posição com o tempo é uma função harmônica, sendo que, em sua configuração mais simples, a aceleração do movimento é proporcional ao seu deslocamento. O seu estudo é a base para o entendimento de vibrações, bem como os conceitos básicos como amplitude, frequência angular e linear, período e rigidez.

Este relatório, com o objetivo de introduzir os conceitos básicos de vibrações de 1 grau de liberdade, propõe um estudo prático de dois sistemas harmônicos simples para o estudo de vibrações livres: a massa-mola e o pêndulo simples. Ambos foram montados e postos para oscilar, variando parâmetros como rigidez e massa para o sistema massa-mola e comprimento e massa para o pêndulo, para então medir o período de oscilações e calcular os valores de frequência natural de vibração e rigidez e comparar com os valores obtidos experimentalmente, bem como verificar como essas grandezas se comportam com mudanças de outros parâmetros.

1. Objetivo:

Realizar dois experimentos de sistema harmônico simples com um grau de liberdade: o sistema massa mola e o pêndulo, variando parâmetros para comparar como esses influenciam o fenômeno e calcular e medir o período e comparar valores teóricos e experimentais.

1. Formulação Teórica:

1.  Pêndulo Simples:

Para o estudo do pêndulo, é utilizado coordenadas polares para expressar a posição de uma partícula que oscila. Vetorialmente, a posição da partícula pode ser escrita como o produto da distância radial r por um vetor unitário radial .[pic 2]

[pic 3]

(1)

Derivando a equação (1) em função do tempo, obtém-se:

[pic 4]

(2)

Figura 1: Desenho esquemático do pêndulo simples e seu diagrama de forças.

[pic 5]

Na figura (1) decompõe-se as forças atuando sobre a massa do pêndulo em uma componente radial e outra tangencial. Para a componente tangencial da força, tem-se:

[pic 6]

(3)

Combinando as equações (2) e (3), e considerando que o raio o comprimento l do pêndulo é constante e, portanto, r =l, tem-se:

[pic 7]

(4)

A equação (4) não possui solução analítica. Dessa forma, utiliza-se a seguinte aproximação para pequenos ângulos:

[pic 8]

(5)

Dessa forma, a equação para o movimento do pêndulo pode ser escrita da seguinte forma:

[pic 9]

(6)

Resolvendo a equação (6), a posição do pêndulo pode ser dada pela equação (7):

[pic 10]

(7)

A velocidade e aceleração do pêndulo podem ser dadas respectivamente por:

	[pic 11]	(8)
	[pic 12]	(9)

Substituindo a equação (7) na equação (9), tem -se:

[pic 13]

(10)

Por comparação com a equação (6), tem-se:

[pic 14]

(11)

Sendo a frequência natural definida pela seguinte equação, sendo o período:[pic 15]

[pic 16]

(12)

O erro existente entre a frequência natural teórica e a experimental pode ser definido como:

[pic 17]

(13)

Para obter a constate de rigidez do sistema, a qual é o coeficiente da equação de movimento associada à amplitude de movimento, utiliza-se a equação (6) reorganizada e multiplicada pela massa m.

[pic 18]

(14)

Quanto a constante de rigidez do sistema experimental, a mesma pode ser obtida por meio da frequência natural do sistema, utilizando a seguinte equação.

[pic 19]

(15)

Em que: g é a aceleração da gravidade (9,81 m/s2), L o comprimento do fio do pêndulo e m a massa do sistema.

1.  Massa-Mola:

No sistema massa-mola sem amortecimento a força é dada por:

	[pic 20]	(17)

Sendo k a constante de rigidez do sistema e x o deslocamento a partir o ponto de equilíbrio.

Da segunda lei de Newton, tem-se:

[pic 21]

(18)

Resolvendo a equação (18), a posição da massa pode ser dada pela equação (19).

[pic 22]

(19)

A velocidade e aceleração do pêndulo podem ser dadas respectivamente por:

	[pic 23]	(20)
	[pic 24]	(21)

Substituindo a equação (18) na equação (9), tem -se:

[pic 25]

(22)

Para duas molas em série, a rigidez equivalente pode ser dada por: