Viscosidade

Prática 7 – Rolamento e Momento de Inércia

Alunos: Dyego Douglas

Iara Santos e Silva

Ingrid Santos e Silva,

Laís Cristina Braga

Laysa Rodrigues Araujo

1. Objetivo

        O objetivo do experimento foi medir a aceleração do centro de massa de corpos redondos que descem rolando por uma calha inclinada, e determinar experimentalmente o parâmetro β para corpos redondos.

1. Introdução

Existe uma grandeza física associada à inércia de rotação. Ela é denominada momento de inércia. Assim como um corpo massivo apresenta sua tendência de permanecer em seu estado inicial de movimento com uma velocidade constante, que inclusive pode ser zero, no caso em que o somatório das forças atuantes é nulo, também existe uma resistência à mudança no movimento rotacional. Esta resistência à mudança em sua velocidade angular é conhecida como momento de inércia do respectivo corpo. Temos que o momento de inércia é denominado como:

[pic 1]

Para um corpo de massa m, cujo centro de massa está posicionado a uma distância fixa R de um ponto fixo em torno do qual este objeto pode executar um movimento circular, conforme mostra a Figura 1.

[pic 2][pic 3]

Figura 1: representação de um corpo a uma distância R de seu eixo de rotação.

Para objetos como barra, discos, ou esferas aplica-se o cálculo integral utilizando a distribuição contínua de massa, cujo elemento de massa é dm ao longo do corpo com comprimento x, como se segue.

[pic 4]

Onde r é distância perpendicular o eixo de rotação, dm o elemento de massa.

Já para corpos com simetria cilíndrica ou esférica, temos que o momento de inércia é denominado:

[pic 5]

Sendo M a massa do corpo, R o raio, β= 2/5 (esfera maciça) ou β= 1/2 (cilindro)

No rolamento o movimento de um corpo que gira sem deslizamento, apoiado em uma superfície, pode ser pensado como composto de um movimento de rotação ao redor do centro de massa e de um movimento de translação desse centro de massa num referencial fixo na superfície. Assim, a correspondente energia cinética pode ser escrita como a soma da energia cinética associada ao movimento de rotação com a energia cinética associada ao movimento de translação:

[pic 6]

Onde ICM é o momento de inércia em relação ao eixo do CM,  o módulo da velocidade angular, m a massa do corpo, VCM é o módulo da velocidade do CM.[pic 7]

No caso da figura 2, o atrito que atua no ponto de contato é responsável para que o corpo não deslize e não perca energia, transformando a energia potencial gravitacional em energia cinética de rotação.

[pic 8]

Figura 2: rolamento sem deslizamento no plano inclinado com atrito

        Através do princípio de conservação de energia é possível obter a velocidade que a esfera chega ao fim da rampa. Sendo demonstrado a seguir:

   (1)[pic 9]

Onde ∆E é a variação da energia mecânica;

 (2)[pic 10]

Onde ∆Ug é a variação da energia potencial gravitacional, e ∆k é a variação da energia cinética. Então:

 (3)[pic 11]

Onde m é a massa da esfera, g aceleração da gravidade, h altura da inclinação, vcm a velocidade do centro de massa, Icm o momento de inércia no centro de massa e w a velocidade angular. Sendo  e , onde v é a velocidade da esfera no final da rampa, e R o raio da esfera. Assim:[pic 12][pic 13]

 (4)[pic 14]

Colocando as massas em evidencias, isolou-se o v para obter a velocidade. Sendo h=senӨ, Ө é o ângulo da inclinação. Então:

  (5)[pic 15]

Utilizando um volante para a mesma situação da esfera, é possível calcular sua velocidade ao chegar ao final da rampa. Para isso primeiro é necessário calcular o momento de inércia do volante. Sendo demonstrado a seguir:

Momento de Inércia do volante:

[pic 16]

[pic 17]

Onde: me é a massa externa do volante, R é o raio maior do volante, mi a massa interna do volante (eixo de rotação) e r raio menor do volante. Assim:

[pic 18]

Como  se aproxima de 1 e  se aproxima de 0, pelo fato de r « R, então o momento de inercia do volante pode ser descrito por:[pic 19][pic 20]

 (7)[pic 21]

Por fim, utilizando o princípio de conservação de energia para definir a velocidade final que o volante chega ao final da rampa:

   (7)[pic 22]

Onde ∆E é a variação da energia mecânica;

 (8)[pic 23]

Onde ∆Ug é a variação da energia potencial gravitacional, e ∆k é a variação da energia cinética. Então:

 (9)[pic 24]

Onde m é a massa do volante, g aceleração da gravidade, h altura da inclinação, vcm a velocidade do centro de massa, Icm o momento de inércia no centro de massa e w a velocidade angular. Sendo  e , onde v é a velocidade do volante no final da rampa, r o raio de apoio do volante e R o raio do volante. Assim:[pic 25][pic 26]