A Probabilidade

                    Probabilidade

                 [pic 1]

Calcule as chances de se ganhar na loteria.

Conceito 

Consideremos a experiência do lançamento de uma moeda e leitura da face voltada para cima. Ao realizarmos n vezes a experiência, se obtivermos m vezes o resultado “cara” é [pic 2] . É claro que lançada a moeda o resultado é imprevisível, pois não podemos dizer com absoluta certeza que o resultado será “cara”, pois nada impede que dê “coroa”.
A experiência provou que conforme se aumenta n, ou seja, à medida que mais lançamentos da moeda são feitos, a frequência relativa [pic 3] tende a estabilizar-se em torno de  [pic 4].

Exemplo:
Em 1000 lançamentos (n = 1000), 529 resultados foram favoráveis (m = 529), o que nos dá para [pic 5] o valor de 0,529.
Em 4040 lançamentos, 2048 resultados foram favoráveis o que nos da [pic 6] = 0,50693, isso significa que no lançamento de uma moeda “honesta” a probabilidade de se obter “cara” é [pic 7] . Essa experiência foi realizada por Kerrich e Buffon.
A definição que permite calcular teoricamente a probabilidade de um evento, sem realizar a experiência é:

Dado um espaço amostral S, com n (S) elementos, e um evento a de S, com n(A) elementos, a probabilidade do evento A é o P(A) tal que:

[pic 8]

Propriedades

Sendo S ≠  [pic 9] um espaço amostral qualquer, A um evento de S e [pic 10] o complementar de A em S, valem as seguintes propriedades: 

? P( [pic 11]) = 0 
? P(S) = 1 
? 0 ≤ P(A) ≤ 1 

? P(A) + P( [pic 12]) =1

Chances de Ganhar na Mega Sena

Ganhar na loteria é o sonho de muitos apostadores brasileiros, que procuram as casas lotéricas para apostar nas loterias da Caixa Econômica Federal. O momento mais esperado é o sorteio dos números que irão decidir se houveram ganhadores. A mais desejada por todos é a Mega Sena, sua cartela é composta de 60 números, de 1 a 60. A aposta mínima nessa loteria é constituída de seis números e a máxima de quinze, mas os valores das apostas variam de acordo com o aumento dos números apostados, pois quanto mais números marcados maior a chance de ganhar. Os sorteios acumulados já chegaram a oferecer prêmios equivalentes a R$ 50 milhões ao acertador.

Nas rodadas, são sorteados seis números entre os sessenta, e os prêmios em dinheiro são pagos para quem acertar quatro (quadra), cinco (quina) ou seis números (sena). O valor do dinheiro pago aos acertadores da quadra e quina são proporcionais aos valores arrecadados no concurso. Os prêmios milionários são pagos somente a quem acertar os seis números sorteados. Caso o número de ganhadores seja maior que um, o prêmio é dividido em partes iguais. Mas qual é a chance de uma pessoa ganhar jogando apenas uma cartela preenchida com seis números?

As chances de acerto dos seis números são calculadas através de uma combinação simples de sessenta elementos tomados seis a seis, C60,6. Os possíveis números de combinações são calculados de acordo com a seguinte expressão matemática:

[pic 13]



Lembrando que combinações simples são agrupamentos de elementos distintos que se diferem entre si pela natureza dos elementos. Nos cálculos envolvendo combinações utilizamos o fatorial de um número natural que consiste na multiplicação desse número por todos os seus antecessores até o número um, por exemplo: 4! = 4*3*2*1 = 24.

Dessa forma, vamos calcular as possíveis combinações existentes na Mega Sena:

[pic 14]

Existem 50 063 860 (cinquenta milhões sessenta e três mil oitocentos e sessenta) modos diferentes de se escolher os seis números de 1 a 60. Veja algumas possíveis combinações:


01 – 02 – 03 – 04 – 05 – 06
01 – 02 – 03 – 04 – 05 – 07
01 – 02 – 03 – 04 – 05 – 08
01 – 02 – 03 – 04 – 05 – 09
01 – 02 – 03 – 04 – 05 – 10
01 – 03 – 04 – 05 – 15 – 16
12 – 14 – 25 – 32 – 48 – 55
09 – 12 – 24 – 37 – 55 – 58
02 – 31 – 36 – 42 – 46 – 57
08 – 10 – 15 – 21 – 32 – 38
09 – 18 – 27 – 31 – 40 – 50
02 – 07 – 12 – 18 – 24 – 30
19 – 23 – 27 – 30 – 38 – 42
12 – 15 – 35 – 42 – 49 – 51
03 – 06 – 12 – 22 – 28 – 46
14 – 19 – 23 – 36 – 39 – 53


As chances de uma pessoa acertar apostando apenas um cartela simples é de 1 em 50 063 860, isto corresponde a 1/50 063 860 = 0,00000002 que corresponde a 0,000002%.

Ensaio Binomial

Algumas situações envolvendo probabilidade devem ser analisadas através da multiplicação entre eventos independentes. Por exemplo, supondo que uma pessoa lance uma moeda 8 vezes sucessivamente esperando obter 6 caras (C) e 2 coroas (K). Sabendo que a probabilidade de sair C ou K são iguais e equivalentes a ½, temos que:

[pic 15]

 

Porém, os resultados podem ser originados de várias maneiras e, dessa forma, o número de sequência será dado por uma permutação de 8 elementos, com 6 repetições de Cara (C) e 2 de Coroa (K). Veja a quantidade de permutações:

[pic 16]

 

A probabilidade será dada pelo produto entre o número de permutações e a probabilidade dos resultados. Veja:

[pic 17]

 

No lançamento de uma moeda 8 vezes, sucessivamente, a probabilidade de sair 6 caras e 2 coroas é correspondente a 10,5% de chance.

 

A probabilidade de ocorrer defeito no teste de um objeto eletrônico é de 3%. Ao analisarmos 10 componentes, qual a probabilidade de ocorrer defeito em exatamente dois aparelhos?

Não ocorrência de defeito: 97% = 0,97
Ocorrência de defeito: 3% = 0,03

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

A probabilidade de ocorrer defeito no teste desse aparelho, de acordo com as condições informadas, é de 3,2%.

Eventos independentes

A probabilidade condicional é encontrada sobre o evento de outro evento e eventos independentes são eventos separados de um único espaço amostral. A probabilidade desse tipo de evento será: 

Dado um espaço amostral qualquer, se dele tirarmos dois eventos e se eles forem independentes, então a sua probabilidade será calculada separadamente. 

P(B|A) = P(B) e P(B|A) = P(A) 

Exemplo: 
Uma moeda é lançada duas vezes. Calcule a probabilidade de obtermos cara no segundo lançamento. 

Indicamos por C e K as faces cara e coroa, respectivamente, temos que o espaço amostral E é: 

E = {(C,C) , (C, K) , (K,K) , (K,C) }, n(E) = 4. 

O evento que queremos é: 

A = {(C,C) , (K,C) }, n(A) = 2 

Logo: P(A) = n(A) = 2 = 1 
                        n(E)   4     2 

Agora, calcule a probabilidade de obtermos cara no segundo lançamento sabendo que obtivemos cara no primeiro lançamento. 

Temos dois eventos a considerar: cara no primeiro lançamento, B = {(C,C) , (C,K)}, e cara no segundo lançamento, A = {(C,C) , (K,C)}. Como sabemos que ocorreu o evento B, temos que o evento A só pode ter ocorrido na intersecção de A e B: 

P(A|B) = n(A ∩ B) = 1 
                    n(B)        2 

Observando as respostas das duas probabilidades, temos: 

P(A|B) = P(A) = 1 
                            2 

Por isso, dizemos que A e B são eventos independentes.