A Teoria dos números

Teoria dos Números

Resultado obtido nas aulas de Teoria dos Números.

Números pares e números ímpares.

 A soma de dois números pares é sempre um número par.

 O produto de dois números pares é sempre um número par.

 A soma de dois números ímpares é sempre um número par.

 O produto de dois números ímpares é sempre um número ímpar.

 O produto de um número qualquer por um número par resulta em um número

par.

 O resto de uma divisão é um número natural menor ou igual ao antecessor do

divisor.

Representação dos números pares e números ímpares.

Par = 2k Ímpar = 2k + 1

Número par é todo número que pode ser agrupado de dois em dois, ou seja,

múltiplo de dois.

O zero é considerado par apesar de não poder ser agrupado de dois em dois.

Exemplo:

p + p = p 0 + p = p

i + i = p 0 + i = i

i + p = i

Seja abcd um número de 4 algarismos.

1000 a + 100 b + 10 c + 1d

Se d é par, então o algarismo é par. Se d é ímpar, então o algarismo é ímpar.

Soma:

A soma de dois números pares sempre irá obter como resultado outro número

par.

Exemplo:

Tomando dois números pares p e r, onde realizando a soma teremos:

p = 2k e r = 2n

p + r = 2k + 2n

p + r = 2(k + n)

A soma de dois números ímpares sempre irá obter como resultado outro número

par.

Exemplo:

Tomando dois números ímpares i e i1, onde realizando a soma obteremos:

i = 2k + 1 i + i1 = 2k + 1 + 2n + 1

i1 = 2n + 1 i + i1 = 2k + 2n + 2

i + i1 = 2(k + n + 1)  chamando (k + n + 1) de k1, logo.

i + i1 = 2k1

Múltiplos e divisibilidades.

Número 3.

Se somarmos dois números múltiplos de 3, iremos obter um outro número

múltiplo de 3.

Exemplo:

3q + 3q1 = 3(q + q1) →chamando (q + q1) de k1 teremos,

3q + 3q1 = 3k1

O produto entre um múltiplo de 3 e qualquer outro número, resulta em múltiplo

de 3.

Exemplo:

3k.a = 3(a.k) → chamando (a.k) de k1 teremos

3k.a = 3k1

Somando dois números que divididos por 3 deixam resto1, o resultado será um

número que ao ser divido por 3 deixará resto 2.

3q + 1 + 3n + 1 = 3q + 3n + 2

3q +1 + 3n + 1 = 3(q + n) + 2 → chamando (q +n) de k, teremos que,

3q + 1 + 3n + 1 = 3k + 2

Somando dois números que divididos por 3 deixam resto igual a 2, o resultado

será um número que ao ser dividido por 3 deixará resto 1.

3q + 2 + 3n + 2 = 3q + 3n +4

3q + 2 + 3n + 2 = 3q + 3n + 3 + 1

3q + 2 + 3n + 2 = 3 (q + n +1) + 1 → chamando (q + n + 1) de k, teremos que;

3q + 2 + 3n + 2 = 3k + 1

A soma de um número que ao ser dividido por 3 deixa resto 1 com outro que ao ser

dividido por 3 deixa resto 2, resulta em um número múltiplo de 3.

3q + 2 + 3n + 1 = 3q + 3n + 3

3q + 2 + 3n + 1 = 3 (q + n + 1) → chamando (q + n+ 1) de k, teremos que;

3q + 2 + 3n + 1 = 3k

Porque podemos afirmar que um número é divisível por 3, se a soma de seus

algarismos resultar em um número múltiplo de 3.

Exemplo:

Utilizando o número 7842, onde a soma de seus algarismos é igual a 21, podemos

verificar da seguinte forma.

Exemplo:

7 x 1000 + 8 x 100 + 4 x10 + 2

7 ( 999 + 1) + 8 ( 99 + 1) + 4 (9 + 1) + 2

Observando que os valores que estão entre parênteses são múltiplos de 3, podemos

eliminá-los e dividir os que estão fora dos parênteses por 3, após somar o resto de cada

divisão para constatar que o resultado será um número múltiplo de 3.

7 / 3 deixa resto 1

8 / 3 deixa resto 2

4 / 3 deixa resto 1

2 não é divisível por 3, portanto soma-se 1 + 2 + 1 + 2 = 6, sendo o resultado um

número múltiplo de 3, podemos afirmar que o valor de 7842 é divisível por 3.

Número 4.

Para se verificar se um número é divisível por 4 basta averiguar os dois

últimos algarismos. O número que formar tem que ser múltiplo de 4.

Obs: Números terminados em 00 também são divisíveis por 4.

Exemplo: