Lista Simulação Estatistica

1ª. Lista de Exercícios de Simulação I – DMEC/ FCT/ Unesp – Prof. Manoel – Março de 2011.

1.)  a) Se x0 =5 e xn = 3xn-1mod(150), encontrar x1,...,x10.

y=matrix(0,10,1) #matriz 10 linhas x 1 coluna

y[1]=5

for (i in 2:11) { #chave indica iniciar for na outra linha

y[i] = (3*y[i-1])%%(150) # porcentagem indica resto da divisão (mod)

}

y

      b) Se x0 =3 e xn = (5xn-1+7)mod(200), encontrar x1,...,x10.

x = matrix(0,10,1)

x[1]=3

for(i in 2:11) {  

x[i] = (5*x[i-1]+7)%%(200)

}

x

[1]   3  22 117 192 167  42  17  92  67 142 117 192

2.)  Faça um algoritmo eficiente para simular os valores de uma variável aleatória X tal que

   [pic 1]

edois=function(n)

{i=1;y=0;

repeat

{u=runif(1,0,1)

if (u<0.3) x=1

else if (u<0.5) x=2

else if (u<0.85) x=3

else x=4

if (length(y)>n-1) break

y[i]=x

i=i+1}

y}

edois(30)

[1] 3 3 3 1 1 1 1 1 2 2 3 3 3 1 2 3 1 1 1 4 1 1 2 1 1 1 1 2 1 3

3) a) Faça um algoritmo para gerar uma distribuição Binomial(n,p), dada por:

[pic 2]

    b) Faça um algoritmo para gerar uma distribuição de Poisson[pic 3].

[pic 4]

Algoritmo de Geração de Poisson

1. Gere um número uniforme (0,1)

2. i=0, p=e-λ, F=p.

3. Se U < F, faça X=i e pare.

4. p= λp/(i+1), F=F+p, i=i+1.

5. Vá para 3.

etresb=function(n,L)

{i=0;p=exp(-L);F=p;y=0;

repeat

{u=runif(1,0,1)

if (u

break}        

p=(L*p)/i+1

F=p+F

if (length(y)>n-1) break

y[i]=x

i=i+1

y}

etresb(30,1.5)

    c) Faça um algoritmo para gerar uma distribuição Geométrica.

[pic 5]

etresc=function(n,p)

x=0;i=0;p=0.2;

{repeat{

repeat

{u=runif(1,0,1)

c=log(1-p);j=0;y=0;

if(u

y=y+round(c)+1

if(y==j) break}

if(length(x)>n-1) break

x[i]=y

i=i+1}

x}

etresc(10,0.2)

Sugestão: pode-se utilizar o método da transformação inversa para o caso de variáveis aleatórias discretas.

4) Utilize o método da rejeição para fazer um algoritmo para gerar valores de uma variável aleatória com distribuição dada por:

[pic 6]

5) Uma variável aleatória tem distribuição de Laplace (dupla exponencial) com parâmetros de posição [pic 7], e de escala [pic 8], se sua densidade é dada por:

[pic 9]

Use o método da transformação inversa para desenvolver um algoritmo para gerar valores com distribuição dupla exponencial (Obs.: o procedimento é semelhante ao que foi utilizado para distribuição Exponencial).

6) A distribuição logística centrada na origem e com parâmetro de escala 1 tem densidade:

[pic 10],

de forma que a sua função de distribuição é dada por:

[pic 11].

a) Utilize o resultado do teorema de probabilidade integral para desenvolver um algoritmo para gerar n valores de uma variável aleatória com distribuição logística.

b) Implemente esse algoritmo utilizando a linguagem do pacote R, para gerar n valores de uma v.a. com distribuição logística.

a-)

 Descrever passos do caderno + função encontrada à mão.