A Lista Probabilidade Estatistica

ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE

PROBABILIDADE – 10/04/2019

Profª M. Helena

No dia a dia, vivenciamos certos fenômenos que, embora sejam repetidos muitas vezes e sob as mesmas condições, não apresentam os mesmos resultados. Por exemplo, no lançamento de um dado, não podemos afirmar que apareça um 6; não posso garantir que hoje chova, etc....

Aos fenômenos (ou experimentos) deste tipo damos o nome de Fenômenos Aleatórios (ou Casuais).

Ou seja, são os fenômenos cujo resultado final é imprevisível; dependem do acaso.

Outros fenômenos aleatórios são, por exemplo:

Lançamento de uma moeda perfeita





Número de pessoas que ganharão na loteria

Número de peças defeituosas fabricadas por uma maquina

Como não sabemos o resultado exato de um fenômeno aleatório é que buscamos na Teoria das Probabilidades os resultados prováveis, as chances, as possibilidades de um determinado resultado ocorrer.

PROBABILIDADE é então, um ramo da matemática que cria, elabora e pesquisa modelos para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios.

Espaço Amostral (ou Conjunto Universo – U ou S):

Éo conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento. Exemplos:

Lançamento de uma moeda perfeita: S = {Ca, Co}

Lançamento de um dado “não-viciado”: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Evento (A): É um conjunto de resultados, ou seja, é um subconjunto de um espaço amostral S. Notação para

o Evento: A ou B ou C etc. O número de elementos de um evento será indicado por n(A) , n(B), etc.

EXEMPLOS:

1.No lançamento de um dado “não viciado”

O conjunto de todos os resultados possíveis é {1, 2, 3, 4, 5, 6} e um subconjunto dele é {1, 3, 5}. Nesse

exemplo temos: Espaço Amostral: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Evento A: “ocorrer número impar no lançamento de um dado” → A = {1, 3, 5}

2.Dois lançamentos sucessivos de uma moeda e aparecer cara pelo menos uma vez S = {(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Co), (Co, Ca)} – composto de 4 eventos

A = {(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca)}

3.Dois lançamentos sucessivos de uma moeda e aparecer cara apenas uma vez

S = {(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Co), (Co, Ca)} – composto de 4 eventos A = {(Ca, Co), (Co, Ca)}

4.No lançamento de um dado, sabemos que U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Consideremos os eventos:

a)A: ocorrência de um número par  A = {2, 4, 6}

b)B: ocorrência de múltiplo de 3  B = {3, 6}

c)C: ocorrência de um número par ou número múltiplo de 3  C = A∪B = {2, 3, 4, 6}

d)D: ocorrência de um número par e múltiplo de 3  D = A∩B = {6}

e)E: ocorrência de um número ímpar  E = Ā = S – A = {1, 3, 5}. Note que A∪Ā = S.

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CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Vamos supor que todos os elementos de um espaço amostral finito U tenham a mesma chance de acontecer. (Espaço Equiprovável)

A probabilidade de ocorrer um evento A, indicada por P(A) é um número que mede essa chance e é dado por:

P(A)  número de elementos de A  n(A) ou P(A)  número de resultadosfavoráveis

número de elementos de S n(S) número total de resultadospossíveis

OBS:

a.Para todo evento A, 0 ≤ P(A) ≤ 1. Isso significa que a probabilidade pode assumir valores de 0 a 1.

b.Quando P(A) = 0  Evento Impossível (não há possibilidade que ele venha a acorrer). Ex: ocorrência de um número maior do que 6 no lançamento de um dado.

c.Quando P(A) = 1  Evento Certo (há certeza de que ele ocorrerá). Ex: No lançamento de um dado, a ocorrência de um número menor do que 7. Logo A = S

d.P(U) = 1

EXEMPLOS:

1.Consideremos o lançamento aleatório de uma moeda perfeita. Qual a probabilidade de sair cara?

Tanto “sair cara” como “sair coroa” (que são os eventos elementares) têm a mesma “chance” de ocorrer.

Assim:

Espaço Amostral: S = {Ca, Co} n(U) = 2

Evento A: A = {Ca}  n(A) = 1

Logo P(A) = n(A)  1 . Portanto, temos 50% de chance de sair cara no lançamento de uma moeda. n(S) 2

2.Um dado é lançado duas vezes sucessivamente. Qual a probabilidade de: a. Ocorrer 5 no primeiro lançamento e um número par no segundo?

Espaço Amostral: S = {(1,1), (1,2), .....(6,6)} n(U) = 36

Evento A: A = {(5,2), (5,4), (5,6)}  n(A) = 3

Logo P(A) = n(A)  3  1 . Portanto, temos 8,33% de chance de ocorrer esse evento.

n(S) 36 12

b.O produto dos pontos obtidos ser maior que 20?

Evento B: B = {(4,6), (5,5), (5,6), (6, 4), (6,5), (6,6)}  n(A) = 6

Logo P(A) = n(A)  6  1 . Portanto, temos 16,66% de chance de ocorrer esse evento.

n(S) 36 6

Probabilidade