Teoria Dos Conjuntos

Conjuntos Numéricos

Os conjuntos numéricos foram surgindo, à medida que foi se tornando necessário apresentar

resultados para algumas operações matemáticas.

Com a necessidade de contar quantidades, surgiu o conjunto dos números naturais.

Conjunto dos números naturais (N)

É o conjunto N = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; ...}. Um subconjunto importante de N é o N* = {1; 2; 3; ...}

ou N* = N - { 0 }. Em N é sempre possível efetuar a adição e a multiplicação, ou seja, a soma e o

produto de dois números naturais resultam sempre em um número natural. Já a divisão ou subtração

entre dois números naturais nem sempre é um número natural; a subtração 2 -3, por exemplo, não é

possível em N. Daí a necessidade de ampliar o conjunto N introduzindo os números negativos.

Conjunto dos números inteiros (Z)

É conhecido também como conjunto dos números relativos, é o conjunto Z = { ...; -3;

-2; -1; 0; 1; 2; 3; ...} , Podemos destacar que N Ì Z.

Geometricamente temos:

Observe que há uma simetria em relação ao zero. O oposto ou simétrico de 3 é –3, oposto ou

simétrico de –3 é o 3, valendo 3 + ( - 3) = -3 + 3 = 0.

Quando os números têm o mesmo sinal basta conservá-lo e adicionar os números; quando

os sinais são contrários subtraímos o menor do maior, e o sinal que prevalece é o deste último. É

bom lembrar também que o sinal mais (+) antes de um parêntese não vai alterar o sinal do número

que está entre parênteses, ocorrendo o oposto quando o sinal antes do parêntese for o de (–). Se

não houver nenhum sinal antes do parêntese estará implícito que o sinal será o de mais (+).

Para as operações de multiplicação e divisão que virão logo a seguir vale a seguinte regra:

“Números de mesmo sinal dão sempre resultado positivo, enquanto que os de sinais contrários

conduzem sempre à resultados negativos”.

No conjunto Z, sempre é possível efetuar a adição, a multiplicação e a subtração, ou seja,

a soma, o produto e a diferença de dois números inteiros resultam sempre um número inteiro. E

todas as propriedades das operações em N continuam válidas em Z..Já da divisão de dois números

inteiros nem sempre resulta um número inteiro:

(-8) : (+2) = -4 ® é possível em Z.

(-7) : (+2) = ? ® não é possível em Z.

Daí a necessidade de ampliar o conjunto Z.

Conjuntos dos números racionais(Q)

Ao acrescentarmos as frações não aparentes positivas e negativas ao conjunto Z, obtemos o

conjunto dos números racionais Q. Assim, por exemplo, são números racionais:

-2 , -

2

3

, -1 , -

2

1

,

4

1

− , 0 ,

2

1

,

4

3