Teoria De Conjuntos

TEORIA DOS CONJUNTOS

Símbolos

: pertence

: existe

: não pertence : não existe

: está contido : para todo (ou qualquer que seja)

: não está contido : conjunto vazio

: contém

N: conjunto dos números naturais

: não contém

Z : conjunto dos números inteiros

/ : tal que Q: conjunto dos números racionais

: implica que Q'= I: conjunto dos números irracionais

: se, e somente se R: conjunto dos números reais

Na Matemática, conjunto, elemento e relação de pertinência são aceitos sem definição.

Notação: Um conjunto é indicado por letras maiúsculas A, B, C, ..., colocando-se seus elementos entre chaves.

Exemplos:

A = {a,e,i,o,u}

B = {2,3,4}

O conjunto pode ser determinado por uma sentença.

Exemplo:

A = { x/x é número par}

Através de diagrama de Venn

A

a e i

o u

Subconjunto

Um conjunto A é subconjunto de B, se e só se, todo elemento que pertence a A pertence a B.

A  B  lê-se A está contido em B (relação de inclusão.

A = {1,2,3,4}

B = {1,2}

A

4

3

1

B 2

Obs:   A,  A

Conjuntos iguais: Dois conjuntos são iguais A = B, se e só se, A  B e B  A.

Operações sobre os conjuntos:

a) Intersecção

A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.

A B = { x: x A e x B }

Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={a,e,b,c} então A B = {a,e}.

Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.

Propriedades:

•   A = 

• A  A = A

• A  B = B  A

• (A  B)  C = A  (B  C)

b) União

A união dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.

A B = { x: x A ou x B }

Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} então A B = {a,e,i,o,3,4}.

Propriedades:

•   A = A

• A  A = A

• A  B = B  A

• (A  B)  C = A  (B  C)

c) Diferença

Dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A - B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja:

A - B = {x: x A e x B}

Obs: Se B  A, define-se complementar de B em relação a A:

= A - B = {x/ x A e x B}

CONJUNTOS NUMÉRICOS

a) Naturais ()

 = {0,1,2,3,4,....}  necessidade da contagem

3 + 2  a 

3 – 4  a 

3.2  a 

3 : 2  a 

b) Inteiros (Z)

Z = { ...,- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...}

3 – 4  a Z

3 : 2  a Z

c) Racionais (Q)

Q = {p/q / p e q  a Z e q  0}

3 : 2  a Q

Definimos um número racional como um valor x tal que . Admitindo por redução ao absurdo que p  0 e q = 0, podemos representar x da seguinte forma:

, qual o valor que x deve assumir de modo que multiplicado por zero resulta p ? Como pode-se ver facilmente esta igualdade é uma impossibilidade. Deve-se portanto admitir que à medida que o denominador fica próximo de zero, tornando-se muito pequeno, x torna-se excessivamente grande ou infinitamente