Matrizes
Por: Inês Fragoso • 8/12/2015 • Relatório de pesquisa • 1.350 Palavras (6 Páginas) • 352 Visualizações
Trabalho 16
Exercício 5, pág. 135 - E. Giraldes, V. H. Fernandes e M. P. M. Smith, Curso de Álgebra Linear e Geometria Analítica, McGraw-Hill de Portugal, Lisboa, 1995.
Enunciado:
5. Seja [pic 2].
- Prove que as matrizes [pic 3]e [pic 4]são simétricas.
- Como pode classificar a matriz [pic 5]
5.
Resolução e Solução:
- Seja [pic 6] e [pic 7]
- [pic 8][pic 9]+[pic 10]= [pic 11]
[pic 12]é simétrica sse [pic 13]
[pic 14]
[pic 15]
Assim verifica-se que, para qualquer tipo de matriz que [pic 16]seja e para quaisquer valores reais que se atribuam aos seus elementos, [pic 17] será sempre uma matriz simétrica.
Justificação teórica de cada passo dado:
Qualquer matriz quadrada é simétrica se e só se, para todos os índices i e j, [pic 18] (i.e. todos os elementos simétricos em relação à diagonal principal são iguais entre si).
[pic 19]é simétrica sse [pic 20],
[pic 21] Exemplo: [pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]
Logo, qualquer matriz quadrada é simétrica se for igual à sua transposta.
[pic 29] é simétrica sse [pic 30].
Exemplo: [pic 31] , [pic 32] [pic 33] A é simétrica.
Para que a matriz [pic 34]seja simétrica esta tem de ser igual à sua transposta [pic 35].
[pic 36]
[pic 37]
[pic 38]
Trata-se de uma afirmação universal, [pic 39]. [pic 40] é uma matriz simétrica para quaisquer valores reais dos seus elementos.
Um exemplo de matriz é:
[pic 41] [pic 42]
[pic 43]
[pic 44]é simétrica pois os seus elementos simétricos em relação à diagonal principal são iguais entre si: [pic 45] , ([pic 46]).
Resolução e Solução:
- [pic 47]
[pic 48]é simétrica sse [pic 49]
[pic 50]
Então,
[pic 51]
[pic 52]
[pic 53]
Como[pic 54],[pic 55] e [pic 56]são elementos simétricos entre si da matriz e [pic 57][pic 58], a matriz [pic 59] é simétrica.
Justificação teórica de cada passo dado:
Para que [pic 60] seja simétrica, esta tem de ser igual à sua transposta [pic 61].
[pic 62]
[pic 63]
Para duas matrizes serem iguais os seus elementos com índices correspondentes têm de ser iguais: [pic 64], [pic 65] [pic 66] [pic 67]
[pic 68][pic 69]
[pic 70][pic 71]
Simplificando:
Seja [pic 72] e [pic 73]
[pic 74]
Então se [pic 75]prova-se que a matriz [pic 76] é simétrica, porque [pic 77]e [pic 78]são ambos elementos simétricos da matriz. Então se estes são iguais ([pic 79]) prova-se que a matriz está distribuída de forma simétrica ([pic 80]).
Um exemplo de matriz é:
[pic 81] [pic 82]
[pic 83]
[pic 84]é simétrica pois os seus elementos simétricos em relação à diagonal principal são iguais entre si: [pic 85],[pic 86] e [pic 87], ([pic 88]).
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