Medidas estatísticas

2.2. Medidas Estatísticas

São valores que de alguma forma resumem o comportamento global dos dados. Estas medidas estatísticas podem ter duas formas de serem analisadas, segundo a posição dos dados e segundo a variabilidade ou perturbação dos mesmos. Usualmente quando se tem um conjunto de dados podemos estar interessados em visualizar a tendência dos mesmos, assim como também como os dados se situam ao redor dessa tendência.

2.2.1. Medidas de Tendência Central

São estatísticas que indicam a posição mais comum que o conjunto de dados apresenta e que de alguma forma caracteriza a esse conjunto de dados.

As medidas de tendência central mais conhecidas são: Média, Mediana e Moda. Uma outra medida de tendência, isto é, de posição estão os percentis e dentro deles estão os decil, quartis e inclusive a mediana.

a) Média

É aquele valor que representa o comportamento do conjunto de dados em estudo, e significa que se não houvesse mudanças nas informações o valor mais lógico de todos os dados seria aquele obtido pela media. Seu cálculo depende se os dados são agrupados ou não.

a1) Dados Agrupados (Quando os dados são apresentados em tabelas de frequências)

X ̅=1/n ∑_(i=1)^k▒〖M_i^ f_i 〗

Onde, k, representa o número de classes; Mi, representa a marca de classe (é o ponto médio do intervalo); fi, representa as frequências observadas; n, tamanho da amostra

Exemplo 2.4: Consideremos o exemplo 2.3 que diz: a empresa XXX, deseja avaliar o tempo de vida (em horas) das lâmpadas produzidas, para isto, considera uma amostra de 100 lâmpadas de um lote, num dia ao acaso, os resultados foram apresentados na tabela 2.3, a tabela a seguir constitui uma readequação.

Tabela 2.4.- Distribuição do tempo de vida (em horas) das lâmpadas

I Intervalo M_i^ f_i M_i^ ×f_i

1 2500 |- 2550 2525 7 15925

2 2550 |- 2600 2575 8 20600

3 2600 |- 2650 2625 8 21000

4 2650 |- 2700 2675 12 32100

5 2700 |- 2750 2725 8 21800

6 2750 |- 2800 2775 10 27750

7 2800 |- 2850 2825 14 39550

8 2850 |- 2900 2875 9 25875

9 2900 |- 2950 2925 12 35100

10 2950 |- 3000 2975 12 35700

Total 100 277150

M_1=(2500+2550)/2=2525 ....

X ̅=1/n ∑_(i=1)^k▒〖M_i^ f_i 〗=1/100(277150)=2771,5

Como o estudo era o tempo de vida em horas das lâmpadas, então podemos dizer que o tempo de vida das lâmpadas mais comum de ocorrer é de 2771,5 horas.

a2) Dados não agrupados (aqueles que não estão agrupados em tabelas de frequências)

X ̅=1/n ∑_(i=1)^n▒X_i

Exemplo 2.5: Numa determinada loja observou-se que os clientes estavam comprando grande quantidade de arroz, os donos da loja estavam interessados em saber a aceitação de arroz XXX tipo 1 de 5 quilos, durante uma semana foi observado a compra desse tipo de arroz, obtendo os seguintes resultados: 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12, encontrar a compra media do tipo de arroz XXX tipo 1 de 5 quilos.

A média é obtida por:

X ̅=1/n ∑_(i=1)^n▒X_i =1/7 (10+14+13+15+16+18+12)=98/7=14

Isto quer dizer que os clientes estriam dispostos a comprar diariamente 14 sacos de arroz XXX tipo 1 de 5 quilos.

Propriedades da Média Aritmética

1ª Propriedade: A soma de todas as comparações entre a observação particular e a média obtida é igual a zero.

∑_(i=1)^n▒(X_i-X ̅ ) =0

Demonstração:

Antes de fazer o calculo devemos entender que a soma de valores constantes não afeta a somatória, isto se entende da maneira seguinte:

a+a+a+a+a+a+a=7a=∑_(i=1)^7▒a

Da mesma forma corresponde para a média, já que esta é só um valor constante para o conjunto de dados, desta forma:

∑_(i=1)^n▒X ̅ =nX ̅

∑_(i=1)^n▒(X_i-X ̅ ) =∑_(i=1)^n▒X_i -nX ̅

Como

X ̅=1/n ∑_(i=1)^n▒X_i então ∑_(i=1)^n▒X_i =nX ̅

Desta forma fica demonstrado.

2ª Propriedade: Seja X_i uma variável qualquer que tem uma média conhecida X ̅, podemos definir uma outra variável Y_i, relacionado da forma seguinte:

Y_i=X_i±a

Então a média de Y_i é dado por:

Y ̅=X ̅±a

Demonstração

Da definição da média temos:

Y ̅=1/n ∑_(i=1)^n▒Y_i =1/n ∑_(i=1)^n▒〖〖(X〗_i±a)〗=1/n ∑_(i=1)^n▒X_i ±1/n ∑_(i=1)^n▒a=1/n ∑_(i=1)^n▒X_i ±1/n na

De esta forma fica demonstrado.

3ª Propriedade: Se a relação acima apresentado fosse:

Y_i=X_i×a ou Y_i=X_i/a

A média de Y_i é dado por:

Y ̅=X ̅×a ou Y ̅=X ̅/a

Principal Desvantagem da Média

É influenciada pelos valores extremos dos dados. Para entender utilizaremos os dados do exemplo 2.5, trocando o ultimo valor por 103, então

X ̅=1/n ∑_(i=1)^n▒X_i =1/7 (10+14+13+15+16+18+103)=189/7=27

Isto quer dizer que os clientes estriam dispostos a comprar diariamente 27 sacos de arroz XXX tipo 1 de 5 quilos. Como vemos por um evento isolado nossas conclusões podem de alguma forma estar indicando coisas que na regularidade não esta acontecendo.

b) Mediana

É outra medida de tendência