O passeio Aleatório e as Séries Temporais Financeiras
Por: Paulo Martins • 20/10/2019 • Trabalho acadêmico • 2.877 Palavras (12 Páginas) • 307 Visualizações
O PASSEIO ALEATÓRIO E AS SÉRIES TEMPORAIS FINANCEIRAS
RESUMO
O estudo do passado, com o objetivo de prever o comportamento futuro, sempre foi um assunto relevante nas pesquisas científicas. Mas, será que o comportamento de uma série temporal no presente é influenciado pelas informações do passado? Hurst, um hidrólogo que trabalhou numa empresa construtora de represas ao longo do rio Nilo, se fez essa mesma pergunta e desenvolveu um método estatístico objetivando estudar esse comportamento.
Nesse tcc será usado a metodologia DFA para poder descobrir se alguma das séries temporais financeiras analisadas é influenciada pelo passado.
Palavras-chave: DFA, Passeio Aleatório, Séries Temporais Financeiras
- INTRODUÇÃO
Suponha que uma particula move-se de acordo com um lançamento de uma moeda. Se sair “cara” a partícula da um passo à direita, se cair “coroa” a partícula da um passo à esquerda. Desse modo, a probabilidade da partícula ir para a direita ou esquerda é a mesma. Esse tipo de movimento é chamado de passeio aleatório. Quando uma partícula o executa, o passo no presente não é influenciado pelos saltos passados. Por isso, a previsão do comportamento futuro baseando-se nos dados passados torna-se inviável para esse tipo de variáveis. Por outro lado, quando a probabilidade da partícula saltar para um lado depender do movimento passado, se diz que a série temporal analisada possui memória.
Ao analisar uma série temporal, seria interessante saber se essa série seria previsível ou se ela seria aleatória. Com o intuito de encontrar uma resposta para essa curiosidade, foram desenvolvidos alguns métodos estatísticos. Um deles é a estatística de Hurst. Hurst, um hidrólogo que trabalhou numa empresa construtora de represas ao longo do rio Nilo, desenvolveu um método (conhecido como estatística de Hurst) que calcula um expoente, denominado expoente de Hurst, , que informa se há memória longa na série temporal analisada. No caso, se uma série possuir diz-se que a série analisada possui memória longa, por outro lado, se diz-se que a série é uma caminhada aleatória e, consequentemente, não possui memória longa.[pic 1][pic 2][pic 3]
Apesar da estatística utilizada pelo hidrólogo fornecer uma aproximação razoável do expoente de Hurst, outros métodos foram desenvolvidos e alguns deles possuem uma melhor aproximação desse expoente. Em um trabalho de 2002, Weron compara 3 métodos: o método R/S (que foi criado por Hurst), o método Detrended Fluctuation Analysis [Peng et al. (1994)] e o método Geweke-Poter-Hudak [J. Geweke et al. (1983)]. Entre eles, Weron (2002) conclui que o método D.F.A. é aquele que faz uma estimativa mais precisa do expoente de Hurst e, por isso, será utilizado ao longo desta monografia.
- METODOLOGIA
2.1 Método DFA
Segundo Peng et al. (1994), para se encontrar o expoente de Hurst, , de uma determinada série temporal financeira, , onde , divide-se a série em segmentos não sobrepostos de mesma escala s, ou seja,[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]
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Em cada segmento , calcula-se a tendência local, , através de um ajuste linear. Da série , subtrai-se a tendência local, , de modo obter a série sem tendência , ou seja, [pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]
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Após isso, para cada segmento , encontra-se o desvio padrão da série sem tendência [pic 15][pic 16][pic 17]
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onde representa a média da série no segmento . Agora, já calculadas as variâncias em toda escala s, encontra-se a média dos desvios padrões, , de cada escala , assim:[pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23]
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Para verificar se os valores de seguem a lei de potência , faz-se a regressão onde corresponde ao expoente de Hurst almejado e é uma constante.[pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30]
2.2 Intervalo de Confiança
De acordo com Weron (2002), estimar o expoente de Hurst não é o bastante, é necessário verificar se o expoente encontrado é significativamente diferente de 0,5, só assim poderia ser confirmado se a série estudada é, ou não, um passeio aleatório.
Para se construir um intervalo de confiança basta fazer um experimento de Monte Carlo. Para isso, cria-se um vetor de tamanho contendo variáveis aleatórias. Utilizando o método DFA encontra-se o expoente de Hurst desse vetor. Repetindo esse processo para inúmeros vetores do mesmo tamanho encontra-se uma distribuição de probabilidade.[pic 33][pic 31][pic 32]
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Figura 1: Distribuição de probabilidade de cada expoente de Hurst encontrado. A probabilidade de se obter o um expoente de Hurst a esquerda de é e de se obter um expoente de Hurst a direita de é . Desse modo, se o expoente de Hurst encontrado for inferior a ou superior a a probabilidade de a série temporal seguir um passeio aleatório é inferior a .[pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45]
Fazendo o mesmo procedimento para diversos tamanhos de vetores, no caso foi utilizando [sugerido por Weron (2002)], registram-se os valores de e para cada tamanho e coloca-os no gráfico 1.[pic 46][pic 47][pic 48][pic 49]
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Gráfico 1: Valor médio da estatística DFA e intervalos de confiança relativos a 95% para amostras de tamanho L=256, 512,...,65.536 (Weron (2002)).
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Tabela 1: Intervalo de confiança empírico para a estatística DFA com janelas em que , , onde corresponde ao número de dados que a série temporal possui (Weron (2002) - Adaptado).[pic 52][pic 53][pic 54]
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