Exercícios Avaliativos de Matemática Discreta

Exercícios Avaliativos de Matemática Discreta

Prof. Emerson Eustáquio Costa

Aluno: Danilo Sérvulo Bispo

Questão A:[pic 1]

Solução :

[pic 2]

Se X >= 0 e X + 1 < 0, como se X >= 0, e X + 1, teremos X + 1 > 0, então teremos um contradição com a hipótese.

[pic 3]

Questão B:[pic 4]

Solução :

[pic 5]

Seja ele X = 2m onde m é inteiro. Então x^2 = (2m)^2 = 4m^2, onde m^2 é inteiro, portanto,

x^2 é divisível por 4.

[pic 6]

Questão C:

[pic 7]

Solução :

[pic 8]

(2n + 1)² = 4n² + 4n + 1 = 4*(n² + n) +1.

n² + n = n*(n + 1) → produto de dois números consecutivos, e no produto de dois números consecutivos um sendo par, o outro será ímpar, ou vice-versa

(par * ímpar = par), temos que (n² + n = 2k) 4*(n² + n) + 1 = 4*2k + 1 = 8k + 1.[pic 9]

Questão D:

[pic 10]

Solução :

[pic 11]

3n (n + 1) + 1 será ímpar para todo n ímpar ou par.

[pic 12]

Questão E:

[pic 13]

Solução :

[pic 14][pic 15]

[pic 16]

Questão F:

[pic 17]

Solução :

[pic 18]

[pic 19]

Questão G[pic 20]

Demonstração :

[pic 21]

(k + 1)3 − (k + 1) = k 3 + 3k 2 + 3k + 1 − k − 1

= (k 3 − k) + 3(k 2 + k)

= 3m + 3(k 2 + k)

= 3(m + k 2 + k)

[pic 22]

Questão H:[pic 23]

Demonstração :

[pic 24]

5 = 5 * 1

5 = 5

P(k) = 5 + 10 + 15 + … + 5k - 5 + 5k = 5k(k+1) / 2 5 + 10 + 15 + … + 5(k + 1)(k + 1 + 1) / 2

5 + 10 + 15 + … + (5k+5)(k+2)/2

5 + 10 + 15 + … + 5k^2 + 15k + 10 / 2

5 + 10 + 15 + … + 5k(k + 3) / 2 + 5

5 + 10 + 15 + … + 5k(k+1) / 2 + 10k / 2 + 5

P(k) + 5 (k + 1)

5 + 10 15 + … + 5n = 5n(n+1)/2

[pic 25]

Questão I:[pic 26]

Demonstração :

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

Questão J:

[pic 30]

Demonstração :

[pic 31][pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

...