FUNÇÕES, LIMITES, DERIVADAS, CARACTERÍSTICAS DAS FUNÇÕES, APROXIMAÇÕES FUNÇÕES

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Resumão

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CÁLCULO -

V.

D:X

FUNÇÕES, LIMITES, DERIVADAS, CARACTERÍSTICAS DAS FUNÇÕES, APROXIMAÇÕES

FUNÇÕES

Números de máquina

Calculadoras ou computadores representam os números reais de maneira aproximada, usando um número fixo de dígitos, normalmente entre 8 e 16. Portanto, os cálculos feitos por máquina em geral não são exatos. Tal fato pode causar anomalias no traçado de gráficos. A precisão de um resultado numérico é o número de dígitos corretos. (Contar dígitos após o arredondamento apropriado: 2,512 para 2,4833 teni dois dígitos corretos.) A exatidão refere-se ao número de dígitos corretos após a vírgula decimal.

Só pode ter uma inversa definida no contradomínio de f, denotada g= f 1. Para todo y no contradomínio de f, f. (y) é o valor de x que verifica f (x) = y.

Se os eixos têm a mesma escala, o gráfico de f-! é simétrico ao gráfico de f em relação à reta y = x.

DEFINIÇÕES Funções

Uma função é uma relação f entre dois conjuntos A e B, não vazios, em que para qualquer x pertencente ao conjunto A existe, em correspondência, un único y pertencente ao conjunto B, de modo que (x, y) e af. O conjunto de valores possíveis para r (eixo das abcissas) é chamado de domínio e o conjunto de valores possíveis para y é chamado de imagem da função. O cálculo de uma variável lida com funções de valor real cujo domínio é um conjunto de números reais. Se não estiver especificado o domínio, presume-se que o mesmo inclui todas as entradas para as quais existe um número real de saída.

Intervalos

Se a

Funções implícitas

Uma relação F(x,y) = c normalmente admite y como uma função de x, de um ou mais modos. Ex.: r? + y2 = 4 admite y = /4 – x2. Tais funções são consideradas como definidas implicitamente pela relação. Graficamente, a relação dá uma curva, e um fragmento da curva que satisfaz o teste de reta vertical é o gráfico de uma função implícita. Muitas vezes, não há expressão para uma função implícita em termos de funções elementares.

Ex.: x 2y + y 2x = 4 adniite y = f (x) com f(0) = 2 e f (2) 0, mas não há fórmula para f (x).

Notação

Se uma função é denominada f, então f (x) denota seu valor em x. Se uma função apresenta um valor y, em termos de uma valor x, então x é denominada variável independente e y é a variável dependente. Dada a função y = x pode-se pensar em y como uma notação simplificada para a expressão que representa a função. A notação de 11 >r (“x leva em x?) é outra maneira de referir-se à função. A expressão f(x) para uma função com um valor arbitrário x normalmente representa a própria função.

FUNÇÕES ALGÉBRICAS ELEMENTARES Constante e identidade

Funções constantes têm apenas uma saída:

f(x) = c. A função de identidade é xl ->x, ou f(x) = x.

Valor absoluto ou módulo [x] = {xsex20 Para todo x, 1x2 = [xl.

- 1 se r < 0 .X" se .r > O

P

| CONCEITOS OU TEORIAS Aritmética

O múltiplo escalar de uma função f por uma constante c é dado por (cf)(x) = cof(x). A soma f+g, o produto fg, e o quociente f/g das funções feg são definidos por:

(f+g)(x) = f(x) + g(x),

(tg) (x) = f(x)g(x),

(f/g) (x) = f(x)/g(x). Em cada caso, o domínio da nova função é a intersecção dos domínios de feg, com os zeros de g excluídos para o quociente.

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Gráficos

O gráfico de uma função f é o conjunto de pares ordenados (x, f(x)), apresentado visualmente por un sistema de coordenadas cartesianas. O teste da reta vertical determina que uma curva é o gráfico de uma função se toda reta vertical encontra a cuiva uma vez no máximo. Uma equação y = f (x) normalmente se refere ao conjunto de pontos (x, y) que satisfaz a equação, neste caso o gráfico da função f. Os zeros de uma função são os valores de x para as quais f (x) = 0, e interceptanı o eixo.x.

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Composição

Se feg são funções, “f composta com g" é a função f'g dada por (fog)(x) = f(g(x)) com domínio (estritamente falando) o conjunto de x no domínio de g para o qual g(x) está no domínio de f. Ex.: 1 - 72 é a raiz quadrada composta com xt1 - x', com domínio (-1,1).

.:::.

Par e impar

A função f é par se f (-x) = f (x), ex.: x"; é ímpar se f (-x) = -f(x), ex.: r.

Translações

O gráfico de x\-(x - a) é o gráfico de f deslocado por a unidades para a direita; ex.: (a, f (0)| estaria no gráfico. O gráfico de x1 =f(x) +bé o gráfico de f deslocado b unidades para cima.

Funções lineares

Uma função é linear quando for expressa da forina f(x) = mx + b definida em R’, na qual in (coeficiente angular) e b (coeficiente linear) são números reais e a 0. A constante de proporcionalidade, isto é, a razão entre diferença das ordenadas (y, ey) e a diferença das abscissas (x, e x)

y2 - y Il =

X2 - X é denominada inclinação ou coeficiente angular. O coeficiente angular é também a mudança na função por aumento de unidade da variável independente. A função linear de f(x) m = x+b

tem coeficiente angular in e ponto de intersecção com y f (0) = b, sendo o gráfico uma reta. O coeficiente angular tem unidades a razão das unidades dos eixos. (Ex.: num gráfico de distância vs. tempo, as inclinações são velocidades.) A função linear com valor y, em x, e inclinação in é

f(x) = y, + m(x-x,). Quadráticas

Estas possuem a fornia

f(x) = ar + bx + c onde (a + 1). A forma normal é f(x) = a(x-h)? + k.

Temos h = -b/(2a) e k= f (h). O gráfico é uma parábola com vértice (h,k), com cavidade voltada para cima (se a > 0) e seu vértice como ponto mínimo ou com concavidade voltada para baixo (se a < 0) e seu vértice como ponto máximo. Uma quadrática possui dois, um ou nenhum zero dependendo se o discriminante b? - 4ac é, respectivamente, positivo, zero, ou negativo. Os zeros são dados pela fórmula