A Teoria de números/1000 primos

Historia

O Papiro Matemático de Rhind , por volta de 1550 aC, tem expansões de frações egípcias de diferentes formas para números primos e compostos. [12] No entanto, os primeiros registros sobreviventes do estudo explícito de números primos vêm da matemática grega antiga . Os Elementos de Euclides (por volta de 300 aC) comprova a infinitude de primos e o teorema fundamental da aritmética , e mostra como construir um número perfeito a partir de um primo de Mersenne . [13] Outra invenção grega, a peneira de Eratóstenes, ainda é usado para construir listas de primos. [14] [15] Por volta de 1000 dC, o matemático islâmico Alhazen encontrou o teorema de Wilson , caracterizando os números primos como os números. {\ displaystyle n} n que dividem uniformemente {\ displaystyle (n-1)! + 1} {\ displaystyle (n-1)! + 1}. Alhazen também conjecturou que todos os números perfeitos chegam da construção de Euclides usando primos de Mersenne, mas foi incapaz de provar isso. [16] Outro matemático islâmico, Ibn al-Banna 'al-Marrakushi , observou que a peneira de Eratóstenes pode ser acelerada testando apenas os divisores até a raiz quadrada do maior número a ser testado. Fibonacci trouxe as inovações da matemática islâmica de volta à Europa. Seu livro Liber Abaci (1202) foi o primeiro a descrever a divisão experimental para testar a primalidade, novamente usando divisores apenas até a raiz quadrada. [15]

Em 1640, Pierre de Fermat afirmou (sem provas) o pequeno teorema de Fermat (mais tarde provado por Leibniz e Euler ). [17] Fermat também investigou a primalidade dos números de Fermat {\ displaystyle 2 ^ {2 ^ {n}} + 1} 2 ^ {2 ^ {n}} + 1, [18] e Marin Mersenne estudaram os primos Mersenne , números primos de forma {\ displaystyle 2 ^ {p} -1} 2 ^ p-1 com {\ displaystyle p} pem si um primo. [19] Christian Goldbach formulou a conjectura de Goldbach , de que todo número par é a soma de dois primos, numa carta de 1742 a Euler. [20] Euler provou a conjectura de Alhazen (agora o teorema de Euclides-Euler ) que todos os números perfeitos podem ser construídos a partir de primos de Mersenne. [13] Ele introduziu métodos de análise matemática para esta área em suas provas da infinitude dos primos e da divergência da soma dos recíprocos dos primos. {\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {3}} + {\ tfrac {1} {5}} + {\ tfrac {1} {7}} + {\ tfrac {1} {11}} + \ pontos} {\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {3}} + {\ tfrac {1} {5}} + {\ tfrac {1} {7}} + {\ tfrac {1} {11}} + \ pontos}. [21] No início do século 19, Legendre e Gauss conjecturaram que, como {\ displaystyle x} x tende ao infinito, o número de primos até {\ displaystyle x} xé assintótico para {\ displaystyle x / \ log x} {\ displaystyle x / \ log x}, Onde {\ displaystyle \ log x} \ log xé o logaritmo natural de {\ displaystyle x} x. Idéias de Riemann em seu artigo de 1859 sobre a função zeta esboçaram um esboço para provar isso. Embora a hipótese de Riemann, intimamente relacionada, ainda não tenha sido comprovada, o esboço de Riemann foi completado em 1896 por Hadamard e de la Vallée Poussin , e o resultado agora é conhecido como o teorema dos números primos . [22] Outro resultado importante do século XIX foi o teorema de Dirichlet sobre as progressões aritméticas , que certas progressões aritméticas contêm infinitos primos. [23]

Muitos matemáticos trabalharam em testes de primalidade para números maiores do que aqueles em que a divisão experimental é praticamente aplicável. Métodos restritos a formas numéricas específicas incluem o teste de Pépin para números de Fermat (1877), [24] o teorema de Proth (por volta de 1878), [25] o teste de primalidade de Lucas-Lehmer (originado em 1856) e o teste generalizado de primalidade de Lucas . [15] Desde 1951, todos os maiores primos conhecidos foram encontrados usando esses testes em computadores . [a] A busca por primos cada vez maiores gerou interesse fora dos círculos matemáticos, através doGrande Internet Mersenne Prime Search e outros projetos de computação distribuída . [7] [27] A ideia de que números primos tinham poucas aplicações fora da matemática pura [b] foi abalada nos anos 70 quando a criptografia de chave pública e o sistema criptográfico RSA foram inventados, usando números primos como base. [30] A crescente importância prática dos testes computadorizados de primalidade e fatoração levou ao desenvolvimento de métodos melhorados capazes de lidar com um grande número de formas irrestritas. [14] [31] [32] A teoria matemática dos números primos também avançou com o teorema de Green-Tao(2004) sobre longas progressões aritméticas de números primos, e a prova de Yitang Zhang de 2013 de que existem infinitas lacunas primárias de tamanho limitado. [33]

Primalidade de 1

A maioria dos gregos antigos nem sequer considerou 1 como um número, [34] [35] então eles não puderam considerar sua primalidade. Alguns matemáticos dessa época também consideraram os números primos como uma subdivisão dos números ímpares, então eles também não consideraram 2 como primos. No entanto, Euclides e a maioria dos outros matemáticos gregos consideraram 2 como primos. Os matemáticos islâmicos medievais seguiram em grande parte os gregos ao verem 1 como não sendo um número. [34] Na Idade Média e no Renascimento, os matemáticos começaram a tratar 1 como um número, e alguns deles o incluíram como o primeiro número primo. [36] Em meados do século XVIII Christian Goldbach listou 1 como primo em sua correspondência comLeonhard Euler ; no entanto, o próprio Euler não considerou 1 como primo. [37] No século XIX, muitos matemáticos ainda consideravam 1 como primo, [38] e listas de primos que incluíam 1 continuaram a ser publicadas em 1956. [39] [40]

Se a definição de um número primo fosse alterada para chamar 1 a prime, muitas declarações envolvendo números primos precisariam ser reformuladas de maneira mais desajeitada. Por exemplo, o teorema fundamental da aritmética precisaria ser reformulado em termos de fatorações em primos maiores que 1, porque cada número teria múltiplas fatorações com diferentes números de cópias de 1. [38] Da mesma forma, a peneira de Eratóstenes não funcionaria. corretamente se manipulava 1 como primo, porque eliminaria todos os múltiplos de 1 (isto é, todos os outros números) e produziria apenas o único número 1. [40] Algumas outras propriedades mais técnicas dos números primos também não valem para o número 1: por exemplo, as fórmulas para a função totiente de Eulerou para a soma da função de divisores são diferentes para números primos do que para 1. [41] No início do século 20, os matemáticos começaram a concordar que 1 não deveria ser listado como primo,

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