Equacoes Diferenciias

Problemas de diluição

Consideremos um tanque com uma quantidade inicial de V0 litros de determinado solvente, contendo a quilogramas de um soluto. Despeja-se no tanque uma outra solução do mesmo solvente com b quilogramas do mesmo soluto por litro à razão de e litros por minuto. Simultaneamente, a solução resultante, que se supõe bem misturada (homogénea), escoa-se do tanque à razão de f litros por minuto. O problema consiste em determinar a quantidade de soluto presente no tanque num instante arbitrário t. Seja Q(t) a quantidade de soluto (em quilogramas) presente no tanque no instante t. A quantidade de soluto no instante t + ¢ t é igual à quantidade inicial de soluto no tanque (a), mais aquela que entra (b) e menos que se escoa do tanque entre os instantes t e t + ¢ t. Portanto, tem-se:

onde » 2 [t; t + ¢ t] é um instante de referência. Por outro lado, sabemos que o soluto entra no

tanque à razão de be quilogramas por minuto. Logo,

Para determinarmos a quantidade que sai, devemos, primeiro, calcular o volume da solução

presente no tanque no instante t. Este, é dado pelo volume no instante inicial t = t0 (V0), mais

o volume adicionado entre o instante inicial e o instante t ((t¡t0)e ) e menos o volume escoado

((t ¡ t0)f ). Assim, o volume da solução no instante t é dado por:

,

A concentração do soluto no tanque, num instante t qualquer, é dada por:

Donde se infere que o soluto sai do tanque à taxa de:

,quilogramas por minuto. Então, ,

Assim,a quantidade de soluto no instante t + ¢ t é dada pela equação:

Fazendo ¢ t ! 0, implica que » ! 0 e obtemos a equação diferencial linear seguinte: