Resumo Raciocínio Lógico

1 – PROPOSIÇÃO

Princípios:

• Princípio da Identidade: Uma proposição verdadeira é verdadeira; Uma proposição falsa é falsa.
• Princípio da Não Contradição: Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
• Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição será ou verdadeira ou falsa.

Conceito de Proposição: A proposição é uma sentença declarativa composta por palavras ou símbolos, que expressa um juízo que poderá ser considerado como verdadeiro ou falso (Valor Lógico). São representadas por letras minúsculas ou maiúsculas, por exemplo:

p: Gabriel é Médico – q: 5 > 8 -  r: Beatriz foi ao cinema ontem à noite

Não são proposições:

• Sentenças sem verbo.
• Sentenças exclamativas, interrogativas e imperativas.
• Sentenças abertas (onde o valor lógico depende do valor atribuído a variável):

1. X + 3 = 9
2. A cidade y é a melhor do Brasil.

Para transformar uma sentença aberta em proposição, usam-se quantificadores (Todo, Algum, Nenhum).

Classificação: As proposições poderão ser:

• Simples: Vem desacompanhadas de outras proposições. Ex: Algum carro é azul.

• Compostas: Vem conectada a outra proposição, formando uma sentença. Ex: Maria Clara é médica e Ana Carolina é Dentista – Letícia vai ao cinema ou Paulo vai ao circo. Para achar o valor lógico de uma proposição composta, é preciso do valor lógico de suas proposições componentes, e do tipo de conectivo que as une.

Conectivos Lógicos, Negação, Tautologia, Contradição e Contingência: 

[pic 1]

Negação de Proposições Compostas: 

[pic 2]

Negação de todo, nenhum e algum: 

[pic 3]

2 – IMPLICAÇÃO LÓGICA

Para resolver uma questão de implicação lógica, analisa-se:

• Tipo 1 = Quando houver no enunciado uma proposição simples ou uma conjunção.

• Tipo 2 = Quando não houver proposição simples ou conjunção.

2 – IMPLICAÇÃO LÓGICA

Para resolver uma questão de implicação lógica, analisa-se:

• Tipo 1 = Quando houver no enunciado uma proposição simples ou uma conjunção.

• Tipo 2 = Quando não houver proposição simples ou conjunção.

3 – QUANTIFICADORES

• Quantificador Universal = Para todo, para cada, qualquer que seja. (Todo)

• Quantificador Existencial = Existe pelo menos um, existe um, existe, para algum. (Algum),

4 – PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

O princípio fundamental da contagem nos diz que sempre devemos multiplicar os números de opções entre as escolhas que podemos fazer. Por exemplo, para montar um computador, temos 3 diferentes tipos de monitores, 4 tipos de teclados, 2 tipos de impressora e 3 tipos de "CPU". Para saber o numero de diferentes possibilidades de computadores que podem ser montados com essas peças, somente multiplicamos as opções:

3 x 4 x 2 x 3 = 72

Então, têm-se 72 possibilidades de configurações diferentes.

Um problema que ocorre é quando aparece a palavra "ou", como na questão:

Quantos pratos diferentes podem ser solicitados por um cliente de restaurante, tendo disponível 3 tipos de arroz, 2 de feijão, 3 de macarrão, 2 tipos de cervejas e 3 tipos de refrigerante, sendo que o cliente não pode pedir cerveja e refrigerante ao mesmo tempo, e que ele obrigatoriamente tenha de escolher uma opção de cada alimento?

A resolução é simples: 3 x 2 x 3 = 18 , somente pela comida. Como o cliente não pode pedir cerveja e refrigerantes juntos, não podemos multiplicar as opções de refrigerante pelas opções de cerveja. O que devemos fazer aqui é apenas somar essas possibilidades:

(3 x 2 x 3) x (2 + 3) = 90

R: existem 90 possibilidades de pratos que podem ser montados com as comidas e bebidas disponíveis.

5 – ANÁLISE COMBINATÓRIA (ARRANJO, PERMUTAÇÃO E COMBINAÇÃO)

• Combinação: Suponha que um menino esfregou a lâmpada e dela saiu um gênio que lhe ofereceu 2 desejos, porém, o menino tinha 4 = Casar com fulana, viajar muito, morar em mansão e ter um carrão. Dessa maneira, para escolher entre dois desejos, ele teria 6 combinações possíveis: fulana e viagem, fulana e mansão, fulana e carrão, mansão e carrão, mansão e viagem, viagem e carrão. REPRESENTA-SE através de [pic 4], de modo que como ele tem opção de um desejo OU outros, soma-se 4+2=6 combinações. A ordem dos pedidos não faz diferença.

[pic 5]

[pic 6]

• Arranjo: Suponha-se que o menino queira mudar a ordem que os desejos vão se realizar, de modo que ele quer primeiro viajar sozinho, e depois casar com a fulana. Dessa forma, a ordem dos pedidos faz diferença, e não se trata mais de combinação, e sim de arranjo. Escreve-se [pic 7], pois cada par de desejos dá em 2 arranjos. Ex: fulana e depois viagem ou viagem e depois fulana, fulana e depois mansão ou mansão e depois fulana.

[pic 8]

A Fórmula geral para achar a quantidade de arranjos é [pic 9].

Também pode ser encontrado multiplicando-se o número de combinações pelo de permutações; 6x2 =12.

• Permutação: É o mesmo que fatorial, e é a quantidade de vezes que pode-se alterar a ordem de dois objetos. [pic 10]. No caso: [pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

6 – PROBABILIDADE (EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS, ESPAÇO AMOSTRAL

A probabilidade consiste num ramo da Matemática que estuda as possibilidades de um fenômeno ocorrer.         

Os experimentos aleatórios constituem situações onde os acontecimentos possuem variabilidade de ocorrência, isto é, o mesmo experimento pode ter vários resultados diferentes, por exemplo, no lançamento de um dado podemos obter seis resultados aleatórios. No sorteio de um número entre 1 e 100, não teremos a certeza de qual número será sorteado, podemos ter várias ocorrências de resultados. Essas variações de resultados dentro de uma mesma situação são características dos experimentos aleatórios.         

Diretamente ligado aos experimentos aleatórios temos o espaço amostral, que consiste nos possíveis resultados do experimento. No caso do lançamento de um dado, o espaço amostral é igual a 1, 2, 3, 4, 5, 6, no lançamento de uma moeda podemos ter os seguintes espaços amostrais: cara, coroa. É com base no espaço amostral que conseguimos calcular as probabilidades de um fenômeno.         

Em alguns experimentos podemos notar a existência de um ou mais espaços amostrais possíveis, por exemplo, ao retirar uma carta de um baralho com 52 cartas, podemos trabalhar as seguintes possibilidades: o valor da carta no baralho, os naipes (ouro, espadas, copas ou paus) e vermelha ou preta. Percebemos que os fenômenos aleatórios ocorrem ao acaso, pois, repetidos várias vezes, apresentam resultados inesperados. 

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