A MATEMÁTICA FINANCEIRA

1.11 Juro exato e juro comercial

É comum nas operações de curto prazo, onde predominam as aplicações com taxas referenciadas em juros simples, ter-se o prazo definido em número de dias. Nestes casos, o número de dias pode ser calculado de duas maneiras:

a)pelo tempo exato, utilizando-se efetivamente o calendário do ano civil (365 dias). O juro apurado desta maneira denomina-se juro exato;

b)pelo ano comercial, o qual admite o mês com 30 dias e o ano com 360 dias. Tem-se, por este critério, a apuração do denominado juro comercial ou ordinário.

Por exemplo, 12% ao ano equivale, pelos critérios enunciados, à taxa diária de:

a)Juro Exato:

[pic 2]

b) Juro Comercial:

[pic 3]

Na ilustração, o juro comercial diário é ligeiramente superior ao exato pelo menor número de dias considerado no intervalo de tempo.

1.12Equivalência financeira

O problema da equivalência financeira constitui-se no raciocínio básico da matemática financeira. Conceitualmente, dois ou mais capitais representativos de uma certa data dizem-se equivalentes quando, a uma certa taxa de juros, produzem resultados iguais numa data comum.

Por exemplo, $ 120,00 vencíveis daqui a um ano e $ 100,00, hoje, são equivalentes a uma taxa de juros simples de 20%, uma vez que os $ 100,00, capitalizados, produziriam $ 120,00 dentro de um ano, ou os $ 120,00, do final do primeiro ano, resultariam em $ 100,00 se atualizados para hoje. Ou seja, ambos os capitais produzem, numa data de comparação (data focal) e à taxa de 20% ao ano, resultados idênticos. Graficamente:

[pic 4]

Exemplo:

1.Determinar se $ 438.080,00 vencíveis daqui a 8 meses é equivalente a se receber hoje $ 296.000,00, admitindo uma taxa de juros simples de 6% ao mês.

Solução:

[pic 5]

Os capitais são equivalentes à taxa de 6% ao mês. Portanto, a esta taxa de juros é indiferente receber $ 296.000,00 hoje ou 438.080,00 daqui a 8 meses.

A equivalência de capitais pode então ser generalizada a partir da seguinte representação gráfica:

[pic 6]

Os capitais A1, A2 e B1, B2, B3 dizem-se equivalentes se, quando expressos em valores de uma data comum (data de comparação ou data focal), e à mesma taxa de juros, apresentam resultados iguais.

Sendo a data de comparação o momento 0, tem-se:

[pic 7]

Sendo o momento 6 escolhido como data focal, tem-se:

A1(1 + i × 5) + A2(1 + i × 4) = B1(1 + i × 3) + B2(1 + i × 2) + B3(1 + i × 1), e assim por diante.

Na questão da equivalência financeira em juros simples, é importante ressaltar que os prazos não podem ser desmembrados (fracionados) sob pena de alterar os resultados. Em outras palavras, dois capitais equivalentes, ao fracionar os seus prazos, deixam de produzir o mesmo resultado na data focal pelo critério de juros simples.

Admita ilustrativamente que o montante no final de dois anos de $ 100,00 aplicados hoje, à taxa de juros simples de 20% ao ano, é igual a $ 140,00. No entanto, este processo de capitalização linear não pode ser fracionado de forma alguma. Por exemplo, apurar inicialmente o montante ao final do primeiro ano e, a partir daí, chegar ao montante do segundo ano envolve a capitalização dos juros (juros sobre juros), prática esta não adotada no regime de juros simples. Graficamente, tem-se:

[pic 8]

O fracionamento em juros simples leva a resultados discrepantes, dado que:

C (1 + 0,2 × 2) ≠ C (1 + 0,2 × 1)(1 + 0,2 × 1)

Como resultado das distorções produzidas pelo fracionamento do prazo, a equivalência de capitais em juro simples é dependente da data de comparação escolhida (data focal).

Ilustrativamente, admita que A deve a B os seguintes pagamentos:

$ 50.000,00 de hoje a 4 meses.

$ 80.000,00 de hoje a 8 meses.

Suponha que A esteja avaliando um novo esquema de pagamento, em substituição ao original. A proposta de A é a de pagar $ 10.000,00 hoje, $ 30.000,00 de hoje a 6 meses, e o restante ao final do ano.

Sabe-se que B exige uma taxa de juros simples de 2,0% ao mês. Esta taxa é a que consegue obter normalmente em suas aplicações de capital. Pede-se apurar o saldo a ser pago.

O problema é mais facilmente visualizado no gráfico a seguir, onde convencionou-se representar a dívida original na parte superior, e a proposta alternativa de pagamento na parte inferior.

[pic 9]

A ilustração apresentada é de substituição de uma proposta de pagamentos por outra equivalente. Para serem equivalentes, os pagamentos devem produzir os mesmos resultados, a uma determinada taxa de juros, em qualquer data comum.