DERIVADA DE UMA FUNÇÃO ACRÉSCIMOS E RAZÃO ENTRE ACRÉSCIMOS DE VARIÁVEIS

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO

ACRÉSCIMOS E RAZÃO ENTRE ACRÉSCIMOS DE VARIÁVEIS

          Numa função do tipo y = f(x), y é chamado de variável dependente da função e x de variável independente. Veja a função abaixo.[pic 1]

                                                         variável independente ou variável livre[pic 2]

                                  y  = 2x + 5[pic 3]

                                            variável dependente ou valor da função

         Quando a variável independente x assume os valores  x  =  x1  e   x  =  x2 , 

o acréscimo de  x  é  obtido pela expressão:

                                                Δx = x2 – x1 

         Da mesma forma, a variável dependente  y,  assume  valores   y  =  y1  e  y  = y2 , cujo acréscimo de y  é calculado por

                                                Δy = y2 – y1 

onde Δy  é chamado de acréscimo da variável dependente ou taxa de variação da função.    

Exemplo. Calcule:

1. O acréscimo da variável independente  x , quando ela passa de  x1  = 3 para o valor

      x2 = 8.    

       Solução:     Δx = x2 – x1     ⇒     Δx = 8 – 3     ⇒   Δx = 5

1. O acréscimo da variável dependente ( Δy ), correspondente ao acréscimo da variável independente ( Δx ), quando x  passa de    x1 = 3    para    x2 = 8.  

      Solução:  se   x1 = 3    ⇒  y1 = 2.3 + 5  ⇒ y1  =  11

                      se   x2 = 8    ⇒   y2 = 2.8 + 5 ⇒  y2   =  21

                      Δy  = y2  – y1  ⇒  21 – 11 ⇒  Δy  = 10

TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO DA FUNÇAÕ

        Considerando x variando no intervalo [ x1 , x2 ], A taxa média de variação da função  ou  razão incremental  de uma função y = f(x) definida e contínua nesse intervalo é dada pelo quociente:  

[pic 4].   Levando-se em conta o exemplo anterior, temos:  

                                  [pic 5]

Obs(01)

Se no lugar de  y = 2x +5,  tivermos  f(x) = 2x +5 , então,   Δy = y2 – y1  pode ser  dado por  Δf(x) ou mais simplesmente por  Δf  =  f(x2) – f( x1),  e,  no lugar de   [pic 6],   escreveríamos:  

                 

                     [pic 7]  =  [pic 8]  =  [pic 9]  =  [pic 10]  =  [pic 11]  =   2

Obs(02)

Se  Δx  é dado por  Δx = x2 – x1, então  x2  = x1 + Δx.  Fazendo   Δx  =  h   implica que

x2  = x1 + h  e   Δf(x)  =  f(x2)   –  f( x1)  pode ser escrito por  Δf(x)  =  f(x1 + h)  –  f( x1).

Exercícios:

01) Calcule a taxa média de variação da função f(x) = 3x2 – 5, para x1 = 2   e  Δx = 8

Solução:  

Lembrando que                  x2 = x1 + Δx   ⇒   x2 = 2 + 8     e    x2 = 10

                                            f(x1) = f(2) = 3 . 22 – 5  = 7  

                                            f(x2) = f(10) = 3 . 102 – 5 = 295

Δy = f(x2) – f(x1)   ⇒  Δy = f(x1 +Δx ) – f(x1)   ⇒    Δy = f(10 ) – f(2)

Δy = 295 – 7  = 288     ∴       [pic 12]

02) Calcule o acréscimo da função  y = 2x2 – 4x  + 5  e a correspondente razão incremental  para  x1 = 3   e   Δx = 5

Solução:      x2  =  x1 + Δx   ⇒   x2 = 3 + 5   ⇒   x2 = 8

                          y1  =  2. 32  – 4.3 + 5  = 11

                          y2  =  2. 82  – 4.8 + 5  = 101

                          Δy = 101 – 11  = 90    ∴  [pic 13]