Lista Resolvida de Sistemas
Por: Pedro _Games_BR • 13/9/2016 • Relatório de pesquisa • 1.686 Palavras (7 Páginas) • 488 Visualizações
SISTEMAS LINEARES - LISTA DE EXERCÍCIOS #10
ALUNO:
Marcelo de Souza Colares
JUNHO – 2016
4. For the following state equation
[pic 2]
1) Find two different state feedback u = r – K1x and u = r- K2x to place the poles at -2+j2, -2-j2, -4.
Try to find K1 and K2 such that one has relatively larger elements and the other one has relatively small elements.
Simulate the system from t=0 to t=10 with x(0)=[1 1 1]’, xe(0)=[0 0 0]’ and u=0.
[pic 3]
Plot the state x(t) and e = x(t)-xe(t).
[pic 4][pic 5]
2) Use simulink to simulate the closed-loop systems resulting from K1 and K2, respectively, under initial
condition x(0)=[1 2 3]’ and r(t) =0.
Plot y(t) for the two cases in the same figure. [pic 6]
Plot u1(t) for the two cases in the same figure.
[pic 7]
Plot u2(t) for the two cases in the same figure.
[pic 8]
Problem set #10
1. Design a robust tracking strategy for the system
so that the output y follows a step signal asymptotically.
Choose design parameters so that the closed-loop poles are at -2+j2, -2-j2, -4 and -8.
Simulate the system (print the simulink model)
1) with the given go(s)
2) Keep all the design parameters but replace go(s) with [pic 9]
Plot y(t) for each of the cases with 0 initial condition for the state.
[pic 10]
[pic 11]
[pic 12]
[pic 13]
- Como o rank de GC = 3 = n, o sistema é controlável
[pic 14]
- Como o rank de GO = 1 < n, o sistema não é observável
6.6 – Find the controllability and observability index of the state equation in problem 6.1 and 6.2
a) Sistema da questão 6.1:[pic 15]
b) Sistema da questão 6.2:[pic 16]
- Para o sistema da questão 6.1, a matriz de controlabilidade é [pic 17].
Como o sistema possui apenas uma entrada o conjunto de índices de controlabilidade possui apenas um elemento, μ1. Como a matriz GC possui rank igual a 3, temos 3 vetores LI. Logo, o índice de controlabilidade será igual a μ1 = μ = 3.
- Para o sistema da questão 6.1, a matriz de observabilidade é [pic 18].
Como o sistema possui apenas uma entrada o conjunto de índices de observabilidade possui apenas um elemento, ν1. Como a matriz GO possui rank igual a 1, temos apenas 1 vetor LI. Logo, o índice de observabilidade será igual a ν1 = ν = 1.
- Para o sistema da questão 6.2, temos que
[pic 19]
- A matriz de controlabilidade é
[pic 20]
- Como o sistema possui duas entradas, o conjunto de índices de controlabilidade possui dois elementos {μ1, μ2}.
- Os vetores LI da matriz GC, da esquerda para a direita, são:
[pic 21]
Na matriz acima, verifica-se dois vetores LI relacionados com b1, logo o índice de controlabilidade μ1 é igual a 2. Na mesma matriz verifica-se que só existe um vetor b2, logo o índice de controlabilidade μ2 é igual a 1.
μ1 + μ2 = n 2 + 1 = n
O índice de controlabilidade do sistema é igual a:
μc = max(μ1, μ2) = 2
μc = 2
[pic 22]
- A matriz de observabilidade é
[pic 23]
- O índice de observabilidade do sistema, nesse caso, é obtido diretamente através da matriz de observabilidade. O índice será igual ao rank que vale 3. Logo:
μo = 3
6.8 – Reduce the state equation to a controllable one. Is the reduced equation observable?
[pic 24]
[pic 25]
- Como o rank da matriz de controlabilidade é menor que a ordem da matriz A então o sistema não é controlável.
- Para transformar as matrizes A, B e C na forma controlável, calcula-se a matriz de transformação Q utilizando as primeiras colunas LI da matriz de controlabilidade associada à vetores LI para completer a matriz de ordem n.
[pic 26]
[pic 27]
[pic 28]
[pic 29]
[pic 30]
A forma reduzida de controlabilidade é:
...