A Matemática Financeira

Matemática Financeira Aula 02 – Juros Simples, Descontos Simples e Juros Compostos Prof.Dr. Edmilson J.T. Manganote Juros Simples Fórmula do Juros Simples e Montante )n⋅i+1( P=S  Taxas Equivalentes 2 1 2 1 n n i i = Juros Simples • Juro Exato e Juro Comercial – Juros Exatos – considerando o ano civil, que tem 365 dias – Juros Comerciais – Considerando o ano comercial, que tem 360 dias • Operações com Hot Money – Empréstimos de curtíssimo prazo, em geral de um dia útil, o regime é de capitalização simples com juros comerciais, sendo as taxas dadas em termos mensais Juros Simples • Valor Nominal e Valor Presente – Nominal – na data do vencimento – Presente ou atual – valor aplicado a juros simples, em uma data anterior ao vencimento, que proporcione um valor igual ao nominal  S=i ⋅ P+P Descontos Simples • A idéia de desconto está associada com o abatimento dado a um valor monetário em determinadas condições • Desconto Comercial ou Bancário – Chamamos de valor nominal (ou de face) e indicamos por N o valor do título a ser descontado. Sendo n o prazo de vencimento e d a taxa de desconto utilizada, o desconto é dado por: D = Ndn – O valor líquido do título sendo dado por: Vd = N - D Descontos Simples • Exercício: Uma duplicata de $ 18.000,00 foi descontada em um banco dois meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2,5% a.m. • a) Obtenha o desconto • b) Obtenha o valor líquido recebido pela empresa • c) Obtenha o fluxo de caixa da operação do ponto de vista do banco. Calcule também a taxa efetiva de juros da operação Descontos Simples • Relação entre a Taxa de Desconto e a Taxa de Juros Simples dn d i − = 1 Descontos Simples • Exercício: Se a taxa de desconto comercial for de 4% a.m., e o prazo de vencimento de uma duplicata for de três meses, qual a taxa mensal de juros simples da operação? Descontos Simples • Operações com um conjunto de títulos – Caso tenhamos um conjunto de títulos, o seu valor comercial (ou valor líquido) é a soma dos valores atuais de cada título • Prazo Médio de um conjunto de títulos – É a média ponderada dos prazos dos títulos, sendo os pesos iguais aos valores de cada título Descontos Simples • Exercício: Uma empresa apresenta um borderô de duplicatas a seguir, para serem descontadas em um banco à taxa de desconto comercial de 2% a.m. Qual o valor líquido recebido pela empresa? Qual o prazo médio? Duplicata Valor Prazo vencimento A $ 20.000,00 30 dias B $ 40.000,00 65 dias C $ 80.000,00 82 dias Juros Compostos • Fórmula do Montante S = P(1 + i)n • O fator entre parênteses é chamado de Fator de Acumulação de Capital • Períodos não inteiros – A relação anterior é estendida para valores de n positivos e não inteiros Juros Compostos • Exercício: Uma empresa recebeu um empréstimo para capital de giro no valor de $ 30.000,00, para pagamento em 56 dias. O banco cobrou juros compostos a uma taxa de 52% a.a. Qual o montante que deverá ser pago? Juros Compostos • Taxas Equivalentes ) ( ) ( 1 2 1 1 n n i+ =i + Exercício: Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2% a.m.? Juros Compostos • Certificados de Depósito Bancário (CDBs) – Título emitidos pelos bancos – nominativos endossáveis • Recibos de Depósito Bancário (RDBs) – Intransferíveis • Certificado de Depósito Interbancário (CDI) • Remuneração: Prefixada e Pós-fixada • Taxa Líquida e Taxa Bruta Juros Compostos • Exercício: Um investidor aplicou $ 15.000,00 em um CDB prefixado de 30 dias em uma instituição financeira. A taxa bruta da operação foi de 18% a.a. Pede-se: a) O montante bruto de resgate b) O imposto de renda, sabendo-se que é igual a 22,5% do juro auferido c) O montante líquido d) A taxa líquida da operação no período considerado Juros Compostos • Valor Atual e Nominal em Juros Compostos – Valor Nominal: valor na data do vencimento – Valor Atual ou Valor Presente: em uma data anterior ao vencimento ) ( n i S P + = 1 Juros Compostos • Exercício: Uma pessoa tem uma dívida de $ 10.000,00 vencível daqui a três meses. Qual o seu valor atual hoje, considerando uma taxa de juros de 1,5% a.m.? Juros Compostos • Compra à Vista e Compra a Prazo – O procedimento consiste em calcular o valor atual do pagamento a prazo e compará-lo com o preço a vista – A melhor alternativa é o chamado Preço Econômico Juros Compostos • Exercício: O que é melhor para um comprador: pagar um terreno por $ 50.000,00 daqui a 50 dias ou pagar a vista com 3% de desconto sobre aquele preço? Suponha que o comprador consiga aplicar seu dinheiro à taxa de 1,4% a.m. no regime de juros compostos. Juros Compostos • Capitalização Composta com Taxas de Juros Variáveis i i+1( =AC  1 i+1() 2 i+1() 3 i+1(⋅⋅⋅) n 1−) Juros Compostos • Exercício: Em três meses consecutivos, um fundo de renda fixa rendeu, respectivamente, 1,3%, 1,7% e 2,1%. Se o capital aplicado no início do primeiro mês foi de $ 16.000,00, pede-se: a) O montante ao final do 3º mês b) A taxa de rentabilidade acumulada deste fundo no trimestre Juros Compostos • Taxa Acumulada de Empréstimos com Hot Money 1 30 1 30 1 30 1 30 1 1 2 3 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅⋅⋅⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = n AC i i i i i Juros Compostos • Exercício: Em três dias úteis consecutivos, vigoraram as seguintes taxas em operações de hot money: 3%, 3,5% e 4%. Qual a taxa acumulada no período? Juros Compostos • Operações em Dias Úteis e Taxa Over – Dias úteis do ano: 252 (Convenção de 2000) – Taxa Over Mensal: 30 vezes a taxa por dia útil, servindo para comparar rentabilidades ou custos de empréstimos Juros Compostos • Exercício: Uma instituição financeira aplicou $ 20.000,00 em um CDI de outra instituição por um dia útil à taxa de 19% a.a. (252 dias úteis): • a) Qual o montante? • b) Qual a taxa efetiva por dia útil e qual a taxa over mensal correspondente? Juros Compostos • Taxa Over SELIC – Sistema Especial de Liquidação e Custódia foi criado com o intuito de registrar e controlar eletronicamente as operações com títulos públicos federais – É dada diariamente (em dias úteis) e expressa ao ano com base em 252 dias úteis – LFT – Letra Financeira do Tesouro Juros Compostos • Exercício: Se uma LFT for de $ 1.175,48 em um determinado dia e a taxa SELIC for de 15,25% a.a. (252 dias úteis), qual o valor da LFT no dia seguinte? Juros Compostos • Período da Taxa não coincide com o Período de Capitalização – Na dedução da fórmula do montante, partimos da hipótese de que o período de capitalização (formação de juros) coincidia com o período da taxa. Quando tala fato não ocorre, é convenção adotar-se a taxa do período de capitalização (taxa efetiva) como proporcional à taxa considerada. Juros Compostos Exercício: Um capital de $ 1.000,00 foi aplicado durante um ano à taxa de 12% a.a., mas com capitalização mensal de juros. Qual o montante ao final? Juros Compostos • Capitalização Contínua in i i x x n S Pe S Pe e x i n i S = = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ∞→ lim 1 1 Juros Compostos • Exercício: Um capital de $ 5.000,00 é aplicado à taxa de 10% a.s., durante dois anos, com capitalização contínua. Qual o montante?

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