Espaços Amostrais e Eventos Probabilísticos

Aula 1

Espaços amostrais e eventos probabilísticos

Falar em probabilidade ao abordar um tema está plenamente presente em nosso dia a dia. Quando utilizamos expressões como “Será que a avenida principal está engarrafada?” “Vai chover no domingo?” “É muito provável que eu chegue atrasado hoje ao trabalho”, estamos associando a cada uma das mesmas a existência de uma chance de um determinado evento ocorrer, ou seja, estamos atribuindo uma probabilidade para o mesmo.

Diversas histórias apontam as origens da probabilidade, entretanto uma delas marca o início da busca por esses conhecimentos. Sabe-se que a probabilidade teve sua origem no século XVII, motivada pela curiosidade do cavalheiro Chevalier de Méré, adepto dos jogos, que em um determinado dia discutiu com Blaise Pascal sobre as possibilidades de ganhar ou não nos jogos com cartas.

Saiba Mais

Blaise Pascal Filósofo e Matemático francês, nascido em Clermont no ano de 1623 e falecido em 1662 na cidade de Paris, Blaise Pascal é um importante ator na história da evolução do conhecimento. Na infância seu pai, possuía uma concepção educacional pouco ortodoxa, decidiu que seria responsável por ensinar os filhos e que Pascal não estudaria Matemática antes dos 15 anos. Ainda assim, motivado pela curiosidade, Pascal aos 12 anos descobriu, por si, que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a dois ângulos retos. Desde então, ele não parou mais e deixou grandes contribuições. Aos 16 anos, Pascal apresentou em uma única folha de papel diversos teoremas de Geometria Projetiva, incluindo o hoje conhecido como "Hexagrama místico". Aos 18 anos, inventou a primeira máquina digital, chamada Pascaline para realizar os processos de adição e subtração, sendo que posteriormente estabeleceu as etapas de produção e comercialização dessas máquinas de calcular. Durante o verão de 1654, através de trocas de correspondência com Fermat, Pascal estabeleceu os fundamentos da Teoria das Probabilidades. Em seus últimos anos de vida e com um legado de valiosas contribuições desenvolvidas nos 39 anos em que viveu, Pascal passou a dedicar seu tempo para a prática da caridade e da religião.

O tema abordado nessa conversa despertou em Pascal um grande interesse, motivando-o, inclusive, a escrever uma carta para o amigo Pierre de Fermat, onde relatava o problema de Chevalier de Méré e seus jogos. Para Fermat, esse assunto também era algo desconhecido e a partir da carta recebida, ambos começaram a estudar formas de descrever matematicamente, as leis do acaso com maior precisão, trocando continuadamente cartas. Assim foi dado o primeiro passo para o surgimento da teoria das probabilidades, que foi continuada através dos estudos de tantos outros estudiosos como Jacques Bernoulli (1654 - 1705) e Abraham Moivre (1667 - 1759).

Consideremos que, todo final de semana, a empresa X encaminha o colaborador João para coletar dados na cidade Y. Ainda que seja uma ação rotineira, cujas condições de viagem são plenamente conhecidas por João, em cada nova ida, o tempo de viagem sofrerá alterações.  Esse fato se justifica pelo fato da aleatoriedade que influencia todo o processo.

Assim, podemos afirmar que existem dois tipos de fenômenos a serem avaliados: os determinísticos, que são aqueles que apresentarão sempre os mesmos resultados, e os aleatórios, que, mesmo quando repetidos sob as mesmas condições, apontarão resultados diferenciados. Por exemplo, ao atirar um dado no chão, é fato que o mesmo cairá com uma face para cima (fenômeno determinístico), entretanto, qual das seis faces do dado que cairá para cima é uma informação que não podemos garantir (fenômeno aleatório).

Ainda assim, as variações observadas nos fenômenos aleatórios possibilitam compreender, descrever, quantificar e modelar o comportamento das ocorrências.  Por esse motivo, dispomos da probabilidade no intuito de prevermos a possibilidade das ocorrências de determinados fatos.

Para a descoberta de probabilidade de algo acontecer, é necessário compreender inicialmente o conjunto composto por todos os resultados possíveis de determinado experimento.  Para esse conjunto, em probabilidade, atribuímos o nome de espaço amostral.

Importante

Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis para um experimento aleatório que apresenta como denotação a letra S. Já a conotação n(s) aponta a quantidade de elementos que compõem esse espaço.

Assim, o espaço amostral sofre alterações de acordo com os objetivos da análise. Por exemplo, considere que você trabalha em uma indústria de peças plásticas, e deseja fazer um estudo acerca das mesmas. Assim, vamos considerar esse universo para cada um dos objetivos de pesquisa abaixo, avaliando seus espaços amostrais correspondentes.

Objetivo 1 - Avaliar se a peça produzida passa no controle de qualidade

Desse modo, a investigação apontará apenas duas possibilidades distintas. Uma que corresponde ao produto com qualidade, aquele que passa nos testes realizados pelo controle de qualidade e o outro que corresponde ao produto sem qualidade, aquele não passa nos testes.
S = {passa, não passa}
n(s) = 2

Objetivo 2 - Verificar o nível de motivação em que o colaborador executor da atividade produtiva se enquadra

Seguindo uma escala de motivação, podemos considerar quatro possibilidades distintas, que vão desde o colaborador sem motivação até aquele que está muito motivado. 
S = {desmotivado, pouco motivado, motivado, muito motivado}
n(s) = 4

Frequentemente, nosso interesse em um espaço amostral se refere a um determinado acontecimento que está apresentado no mesmo. Esse acontecimento é chamado de evento.

Importante

Um evento é um subconjunto do espaço amostral de determinado experimento aleatório. Pelo fato de se tratarem de subconjuntos, podemos utilizar operações básicas da relação entre conjuntos tais como união, interseção e complemento para formar eventos que sejam do nosso interesse enquanto pesquisador.

Considerando o objetivo 2 elencado anteriormente, para ilustrar, poderíamos considerar como eventos: