INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo

Faculdade de Economia, Administração, Contabilidade e Atuária

Departamento de Atuária e Métodos Quantitativos

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Professor: Luis Patricio Ortiz Flores ^[1]

Versão 1

2013

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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DE PROBABILIDADES

1. PROBABILIDADES

Esta Apostila tem por finalidade introduzir aos alunos dos cursos da FEA (Administração, Economia, Contabilidade e Atuária) no mundo do cálculo das probabilidades. Para isso, utilizaremos exemplos relacionados com essas disciplinas.

O conceito básico de probabilidades é utilizado na vida diária e se relaciona com a incerteza prévia da ocorrência de um fato num caso particular. Em muitas ocasiões podemos ter a necessidade de predizer o resultado de adotar uma determinada decisão.

Por exemplo, cada vez que realizamos uma viagem de carro não sabemos com certeza se ocorrerá ou não um acidente: existe uma pequena probabilidade de que isto ocorra e, complementarmente, uma elevada probabilidade de que não ocorra um acidente. Tomar a decisão de viajar supõe predizer que não ocorrerá um acidente de carro, predição baseada na probabilidade reduzida de não ocorrer esse tipo de acidente.

Não é possível identificar e quantificar todos os fatores, múltiplos e complexos, que determinam a ocorrência de fatos no desenvolvimento da atividade administrativa e econômica. Ainda assim, em determinadas ocasiões devemos realizar um diagnóstico e prognóstico provável e tomar uma decisão.

Assim, podemos fazer predições probabilísticas baseados na experiência anterior, predições que são válidas, com restrições, para grupos de indivíduos. Por exemplo, sabemos que no Estado de São Paulo a taxa de mortalidade geral (que se refere a toda a população) oscila em torno de 7 por mil; isto significa que cada 1000 pessoas 7 morrerão no transcurso de um ano. Esta predição será verificada com bastante exatidão, mas não saberemos quais indivíduos viveram e quais morrerão.

Definição de probabilidade

Têm sido desenvolvidas três abordagens para a determinação de valores e definição de probabilidades

Enfoque clássico: é conhecido como calculo a “a priori”, pois devemos determinar os resultados antes de observada qualquer amostra do evento.

Fórmula básica: P(x) = a/(a + b)

A probabilidade de não ocorrência do evento = P (não x) = 1 – P(x)

Onde:

P(x) = probabilidade de ocorrência do evento

a      = número de casos favoráveis

b      = número de casos desfavoráveis

Exemplo: Qual a probabilidade de retirarmos um Ás de um baralho de 52 cartas em uma única oportunidade?

P(x) = 1/ (1 + 51) = 1/52

Limitações:

Às vezes existem dificuldades de se identificar e enumerar os casos favoráveis e possíveis, por exemplo, nas experiências que os resultados tenham caráter qualitativo e/ou não possamos efetuar contagens;

Esta definição não depende da experiência, para que se concretize realmente o que idealizamos;

No caso que o espaço amostral tivesse infinitos elementos, não teria sentido falar em n(S);

Não estabelece um critério para casos igualmente possíveis pois, partindo da hipótese que a experiência é uniforme (todos os resultados são possíveis), estamos definindo probabilidade por aquilo exatamente que queríamos definir

Enfoque da frequência relativa: É baseado na proporção das vezes que ocorre um resultado favorável em um determinado número de observações (amostra).

Exemplo: Foram coletados dados para 100.000 recém-nascidos em uma determinada cidade de São Paulo. Desse total, 9.000 crianças apresentaram baixo peso.

Qual a probabilidade de uma criança ao nascer apresentar baixo peso?

P(x) = a/(a + b) = 900/ (900 + 91.000) = 0,09 ou 0,090 * 100 = 9%

Enfoque Subjetivo: É uma avaliação pessoas do grau de confiabilidade de ocorrência de um determinado evento.

Exemplos:

        Prognóstico de uma greve

        Recuperação de um doente

1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS (va)

Definamos agora de forma simples o significado de variável aleatória. Para isso vejamos que acontece com o lançamento de uma moeda: seu resultado pode cara ou coroa. Uma aplicação desta experiência pode ser utilizada para tomar decisões. Por exemplo, o árbitro de uma partida de um jogo de futebol, pode utilizar o resultado desse lançamento para decidir qual time inicia o jogo.

O experimento: lançamento de uma moeda sempre terá o mesmo resultado (caro ou coroa), mas, ainda assim, nunca teremos certeza de qual será o resultado.

Podemos, então, dizer que um experimento é aleatório quando não for possível antecipar seu resultado, apesar de conhecer todos os resultados possíveis (espaço amostral), que neste caso será cara ou coroa.

Cada vez que o experimento for repetido seu resultado pertencerá a esse espaço amostral, onde cada resultado é um ponto amostral. Em vez de operar como espaço amostral agora vai utilizar um conceito, mas amplo denominado variável aleatória, que adota valores de acordo com os resultados de um experimento aleatório.

Variável aleatória (va) é uma variável cujo valor é o resultado numérico de um experimento aleatório. Assim, va é uma função formada por valores numéricos definidos sobre o espaço amostral de um experimento.

A cada resultado do experimento aleatório corresponderá apenas um único valor numérico da variável aleatória. Entretanto, um valor numérico da va poderá corresponder a um ou mais resultados de um experimento.

Dependendo dos valores numéricos, a variável aleatória poderá ser um número discreto ou contínuo. Se os valores numéricos da variável aleatória se referem a contagens, então variável aleatória será uma variável aleatória discreta.