Os Conjuntos Numéricos

1. Conjuntos numéricos

Ao agrupamento de elementos com características semelhantes damos o nome de conjunto. Quando estes elementos são números, tais conjuntos são denominados conjuntos numéricos.

A noção de conjunto é a própria estrutura para o pensamento da matemática abstrata. Assim, sem dúvida, para atacar a lista de noções indefinidas e os vários axiomas, relacionando-os, será tomada uma abordagem formal e/ou informal do assunto.

Um conjunto é formado de objeto s ou entidades bem definidos. Os objetos que compõem um conjunto particular são chamados de elementos ou membros. (A teoria dos conjuntos foi desenvolvida pelo matemático russo Georg Cantor, 1845 - 1918).

Conjuntos e elementos serão indicados, salvo menção explícita em contrário, por letras maiúsculas e minúsculas do nosso alfabeto, respectivamente.

1. Conjunto de números Naturais

Os números  naturais  constituem  um  modelo  matemático,  uma  escala  padrão,  que  nos permite  a  operação de  contagem. A   sequência  desses números  é  uma  livre  e  antiga  criação  do espírito  humano.  Comparar  conjuntos  de  objetos  com  essa  escala  abstrata  ideal  é  o  processo que  torna  mais  precisa  a  noção  de  quantidade

Os números naturais servem para contar. O símbolo utilizado para representar o conjunto dos números naturais é N. O  conjunto  dos  núm eros  naturais  possui  infinitos  elementos  que  podem  ser ordenados.

Assim, podemos representá-lo por N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}.

Deve-se a  Giussepe  Peano  (1858-1932)  a  constatação de  que  se  pode  elaborar  toda  a teoria  dos  números  naturais  a  partir  de  quatro  fatos  básicos,  conhecidos  atualmente  como  os axiomas  de  Peano.  Noutras palavras,  o  conjunto  N  dos  números  naturais  possui  quatro propriedades  fundamentais,  das  quais  resultam,  como  consequências  lógicas,  todas  as afirmações verdadeiras que se podem fazer sobre esses números.

1. Conjunto de números inteiros

Com exceção do zero, cada um dos números naturais possui um simétrico ou oposto. O oposto do 1 é o -1, do 2 o -2 e assim por diante. O Sinal “-” indica que se trata de um número negativo, portanto menor que zero. Os números naturais a partir do 1 são por natureza positivos e o zero é nulo.

O zero e os demais números naturais, juntamente com os seus opostos formam um outro conjunto, o conjunto dos números inteiros e é representando pela letra Z.

A seguir temos uma representação do conjunto dos números inteiros:

Z = {…, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

1. Conjunto de números racionais

Os  números  racionais  servem  para  representar  a  razão  entr e  dois  números   inteiros. Esses  números  estão  associados  aos  proc essos  de  medição,  pois   medir  consiste  na comparação de duas grandezas de mesmo tipo.

[pic 1]

Portanto, o Conjunto dos números Racionais engloba o conjunto dos inteiros, os números decimais finitos (Ex: 45,236) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma seqüência de algarismos da parte decimal infinitamente), como: “1,3333333”... ; “0,232323...” ; “1,5888...”, chamados também de dízimas periódicas. 

A letra Q maiúscula é a representação do Conjunto dos Números Racionais. 

Subconjuntos de Q: 

♦ Q é o conjunto dos números racionais diferentes de zero. 

♦ Q é o conjunto dos números racionais positivos e o zero. 

♦ Q é o conjunto dos números racionais negativos e o zero. 

♦ Q é o conjunto dos números racionais positivos. 

♦ Q é o conjunto dos números racionais negativos.

1. Conjunto de números irracionais

Esse conjunto é representado pela letra maiúscula I, é formado pelos números decimais infinitos não periódicos, ou seja, números que possui muitas casas decimais, mas que não tem um período. Entenda período como sendo a repetição de uma mesma sequência de números infinitamente.

Exemplos:

O número PI que é igual a 3,14159265…,

Raízes não exatas como: = 1,4142135…

1. Conjunto de números reais

Representado pela letra maiúscula R, compõem esse conjunto os números: naturais, inteiros, racionais e irracionais. Acompanhe o exemplo numérico a seguir:

Exemplo: R = {… – 3,5679…; – 2; – 1; 0; + + 1; +2, 14; + 4; 4,555…; + 5; 6,12398…}

Classificando os elementos do conjunto Q:

• {0, + 1, + 4} à números naturais.
• {- 2, -1, 0, + 1, + 4, + 5} à Números inteiros.
• {+ } à fração.
• {+ 2,14) à número decimal.
• {+ 4,555…} à dízima periódica.
• {– 3,5679…; 6,12398…} à números irracionais.

1. – Expressões Algébricas: operações, valor numérico, resolução de problemas.

De acordo com Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), há três concepções de educação algébrica que, historicamente, vem exercendo maior influência no ensino de matemática elementar. A primeira, chamada de lingüístico-pragmática^[1], foi predominante durante o século XIX e estendeu-se até a metade do século XX.

A segunda concepção, a fundamentalista-estrutural^[2], predominante nas décadas de 1970 e 1980, trouxe consigo uma nova forma de interpretar a álgebra no ensino, tendo por base as propriedades estruturais, que serviam para fundamentar e justificar as passagens do transformismo algébrico. A terceira concepção - a fundamentalista-analógica - procura fazer uma síntese entre as duas anteriores, pois tenta recuperar o valor instrumental da álgebra e preserva a preocupação fundamentalista, só que não com base nas propriedades estruturais, mas, sim, através do uso de modelos analógicos geométricos (blocos de madeira ou mesmo figuras geométricas) ou físicos (como a balança) que visualizam ou justificam as passagens do transformismo algébrico.

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