Os Conjuntos Numéricos

Disciplina:

Matemática Aplicada

Plano:[pic 1]

• Conjunto (continuação)

Pertinência e inclusão

Pertinência: Dizemos que a pertence a B, simbolicamente a ∈ B , se a é um dos elementos de B.

[pic 2]

Inclusão: Dizemos que A ⊂ B (A está contido em B) se todos os elementos de A são também elementos de B.

[pic 3]

Para representar a não pertinência de um elemento a um conjunto, utilizamos o símbolo ∉; já a não inclusão de um conjunto em outro é representada pelo símbolo

⊄ .

Exemplo:

• A = {conjunto das vogais}. Podemos escrever 7 ∉ A , pois 7 não é uma vogal.
• B = {conjunto das consoantes}. É fato que A ⊄ B, pois o conjunto das vogais não está contido no conjunto das consoantes.

Conjuntos de conjuntos

Além de se ter conjuntos como partes pequenas de um grupo estabelecido e como números ou letras, existe também os conjuntos de conjuntos.

Exemplo:

Os conjuntos {1}, {1, 2} e {1, 2, 3} podem ser elementos do conjunto

A = {{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}}, ou, ainda, o conjunto A possui três elementos, que são

{1}, {1, 2} e {1, 2, 3}.

Operações com conjuntos

Uma parte importante da teoria de conjuntos são suas operações. Vamos ver as principais:

• União
• Interseção
• Diferença
• Complementar

União

A união de conjuntos é semelhante ao conceito de adição (soma).

Exemplo

Considere o conjunto A = {a, b, c, d, e} e o conjunto B = {1, 2, 3, 4, 5}.

Responda A 𝖴 B:

Resposta:

A U B = {1, 2, 3, 4, 5, a, b, c, d, e}

• Representada pelo diagrama de Venn:

[pic 4]

Importante: as posições dos elementos não importam e a união entre os conjuntos A e B poderia ser descrita também como A 𝖴 B = {1, d, 2, c, 3, a, b, 4, e, 5}.

Interseção

A interseção entre conjuntos, A e B, é um novo conjunto, A ∩ B , formado pelos elementos que pertencem tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B.

Exemplo:

Considere os conjuntos a seguir:

A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6, 8, 10}.

Quais elementos estão ao mesmo tempo nos dois conjuntos?

Resposta:

A interseção de A e B é A∩ B = {2, 4}.

• Representada pelo diagrama de Venn:

[pic 5]

Diferença

Realizar a diferença entre os conjuntos A e B implica retirar do conjunto A todos os elementos que também estão em B, formando, assim, um novo conjunto.

Exemplo:

Considere o conjunto A = {a, b, c, d, e, f} e, também, o conjunto B = {a, e, i, o, u}.

Resolva A – B

Resposta:

Seja A = {a, b, c, d, e, f} e B = {a, e, i, o, u}.

A diferença entre A e B fica A – B = {b, c, d, f}.

• Representada pelo diagrama de Venn:

[pic 6]

Complementar

Podemos dizer que o complementar de um conjunto A ⊂ B é formado por todos os elementos que não pertencem ao conjunto A, mas que pertencem ao conjunto B.

Exemplo

Observe os conjuntos A = {3, 5, 11} e B = {1, 3, 5, 7, 9, 11} e constate que A ⊂ B.

Resposta:

Seja: A = {3, 5, 11} e B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}

O complementar do conjunto A em relação ao conjunto B é {1, 7, 9}, isto é:

[pic 7]

• Representada pelo diagrama de Venn:

[pic 8]

Conjuntos numéricos

Conjuntos        numéricos        são        conjuntos        compostos        por        números        que        possuem determinada característica em comum. Exemplo de conjuntos numéricos:

• conjunto dos números naturais
• conjunto dos números inteiros
• conjunto dos números racionais
• conjunto dos números irracionais
• conjunto dos números reais

Conjunto dos números naturais

O conjunto dos números naturais é composto pelos números 0, 1, 2, 3, 4, 5, estendendo-se infinitamente.

É representado pelo símbolo “N”

Logo:

[pic 9]

[pic 10]

Importante: observe que existe espaço entre um número e outro na figura. Isso acontece porque não há números “quebrados” no conjunto dos números naturais, ou seja, não há 2,33 ou 3,5, etc.

Características dos números naturais

• O conjunto dos naturais sem o número zero, ou seja, {1, 2, 3, 4, 5, ...} é representado por: N*

• O menor número entre os naturais é o 0 (zero), ou seja não há números negativos no conjunto de números naturais

• As operações de adição e multiplicação são sempre possíveis entre dois números naturais (no sentido de que o resultado é também natural).

• As operações de subtração e divisão nem sempre são realizáveis dentro do conjunto dos naturais (no sentido de que o resultado de uma dessas operações pode ser um número pertencente a outro conjunto).

Números Naturais - Adição

Em relação à operação de adição, podemos salientar as seguintes propriedades:

1. Elemento neutro: o elemento neutro da adição entre os naturais é o zero (0), já que qualquer número somado com o zero resultará no próprio número. Exemplos: 5 + 0 = 5 ; 0 + =7 ; 0 +0 = 0 .
2. Associativa: não importa a ordem com que associamos dois a dois os números

em uma adição; o resultado será sempre o mesmo. Exemplo: 2 + 3 + 4 = (2 + 3)

+ 4 = 2 + (3 + 4) = 9.