Probabilidade

UNIDADE VII - PROBABILIDADE APLICADA

7.1 Introdução

Na primeira parte dos nossos estudos analisamos um conjunto de dados por meio de técnicas numéricas e gráficas as quais permitiam que tivéssemos uma idéia da distribuição do conjunto em estudo. Estudamos Estatística Descritiva, em especial Medidas de Tendência Central ou de Posição (Média, Mediana, Moda, Quartil, Decil, Percentil) e Medidas de Dispersão (Variância, Desvio Padrão, Coeficiente de Variação).

7.2 Probabilidade

No mundo dos negócios como na vida em geral, muito do que fazemos não tem resultado certo. Então, quando formamos opiniões ou tomamos atitudes precisamos de estimativas da medida de nossa incerteza. Podemos estar incertos se devemos ou não promover uma liquidação, se existe congestionamento no trânsito, se haverá cortes de energia, se existe vírus no software que acabamos de receber, etc. Felizmente existem leis de probabilidade que nos ajudam a tomar decisões.

A Teoria das Probabilidades é o ramo da Matemática que cria e desenvolve modelos que podem ser usados para estudar os experimentos aleatórios.

7.3 Fundamentos

O objetivo principal deste capítulo é firmar um conhecimento sólido dos valores probabilísticos que serão utilizados em capítulos subseqüentes. Um objetivo secundário é desenvolver os conhecimentos básicos necessários para a resolução de problemas simples de probabilidade. Esses conhecimentos têm por si só grande valor como instrumentos de tomada de decisões que possibilitem melhor compreensão do nosso mundo.

Ao lidarmos com problemas de probabilidade, vamos encontrar experimentos, eventos e a coleção de todos os resultados possíveis.

7.4 Definições

7.4.1 – Experimento:  é qualquer processo que permite ao pesquisador fazer observações.

7.4.2 – Experimentos determinísticos: diremos que um experimento é determinístico se, repetido em condições semelhantes, conduz a resultados essencialmente idênticos. Ex.: Deixar cair uma esfera de uma altura de 10 metros e calcular a sua aceleração. Repetir este experimento 10 vezes. 7.4.3 – Experimentos aleatórios: diremos que um experimento é aleatório se, repetido em condições semelhantes, não produz sempre resultados idênticos. Exemplo: verificar o resultado do lançamento de um dado.

7.4.4 – Espaço Amostral:  é o nome do conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Notação: S ou Ω.

Exemplos:

Lançamento de um dado  - Espaço Amostral =  Ω = {1,2,3,4,5,6}

Lançamento de uma moeda  - Espaço Amostral = Ω = {ca, co}

Lançamento de duas moedas  - Espaço Amostral =  Ω = {(ca,ca),(ca,co),(co,ca),(co,co)}

Lançamento de 3 moedas -

7.4.5 – Evento:  é uma coleção de resultados de um experimento. É um subconjunto de um espaço amostral. Exemplo: No experimento, lançamento de um dado.

Evento A – “sair o número 5” : {5}

Evento B – “sair um número par” : {2,4,6}

CASOS IMPORTANTES DE EVENTOS:

• Evento impossível – Seja A um evento. Diremos que A é um evento impossível se A∩Ω=∅. Exemplo: Sair a face 8 no lançamento de um dado.
• Evento certo – Seja A um evento. Diremos que A é um evento certo se A∩Ω=Ω. Exemplo: sair um número menor do que 7 no lançamento de um dado.

7.4.6 – Notação para probabilidades : P  denota uma probabilidade. A, B, C denotam eventos específicos. P(A) denota a probabilidade de ocorrência de um evento A. Se A⊂ Ω, ao número real P(A), tal que:

[pic 1]

P(A) = número de resultados associados ao evento A

                   número total de resultados possíveis

P(A) = número de casos favoráveis

             número de casos possíveis

Exemplos:

1 – Qual a probabilidade de você ganhar uma rifa se comprar 20 bilhetes de 100?

2 – Lançamos um dado. Qual a probabilidade de sair o nº 1? E de sair o nº 4? E de ser um nº impar?

E não sair o n° 3?

3 – Uma caixa contem 3 bolas brancas, 2 vermelhas e 4 pretas. Retiramos uma bola.

A) Qual a probabilidade dela ser branca? B) E de ser preta?; C) E não ser preta?

4 – Uma loja possui em seu estoque 12 geladeiras, sendo 9 boas e 3 defeituosas. Ao comprarmos uma geladeira, qual a probabilidade dela ser boa? E de ser defeituosa?

5 – Uma certa máquina produz parafusos. Ao final de uma hora constatamos que ela produziu: 15 bons, 8 com leves defeitos e 5 com defeitos graves. Retiramos um parafuso da produção. Qual a probabilidade de ter leves defeitos? De ser bom? Dele não ter defeitos graves?

6 - Você faz apostas num jogo de dados. Ganha se sair o 2 ou 4. Qual a probabilidade de você ganhar?

7 – Dois dados são lançados para cima. Qual a probabilidade de se obter: A) A soma dos dois números ser maior de 10. B) O primeiro ser maior que o segundo. C) Os resultados serem iguais.

7.5 – Tipos de Evento:

7.5.1   Eventos Mutuamente Excludentes: dois ou mais eventos são mutuamente excludentes se a realização de um excluir a realização de outro ou de outros.

P(A ou B) = P(A) + P(B)

Ex.: No lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair o 1 ou 5?

1. Eventos não Mutuamente Excludentes: quando a realização de um evento não excluir a realização de outro ou de outros.

P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Ex.: De um baralho com 52 cartas, ao se retirar uma carta, qual a probabilidade de se extrair uma carta de copas ou um dez?

1. Eventos Independentes : dois eventos são independentes quando a ocorrência ou a não ocorrência de um evento não influencia a ocorrência do(s) outro(s).

P(A e B) = P(A) x P(B)

Ex.: No lançamento de dois dados, qual a probabilidade de sair o 1 e 5

1. Eventos Dependentes (PROBABILIDADE CONDICIONAL): quando a ocorrência de um evento influencia na ocorrência do(s) outro(s).

P(A/B) = P(A ∩ B)                                      P(B/A) = P(A ∩ B)

                         P(B)                                                               P(A)

Ex.: No lançamento de um dado. Imagine que depois do dado lançado, alguém nos informe “saiu um nº par”. Sabendo que saiu par, qual a probabilidade de que o nº seja menor que 4?

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