A Teoria das Equações Diferenciais

1. INTRODUÇÃO

A Teoria das Equações Diferenciais é objeto de intensa atividade de pesquisa que apresenta aspectos puramente matemáticos e uma multiplicidade de aplicações, além de apresentar diversas ramificações, neste texto abordaremos especificamente às equações diferenciais ordinárias (equações que só apresentam derivadas ordinárias – em relação a uma variável).

ETAPA 1

Passo 1

Pesquisar e estudar sobre a modelagem de sistemas por meio de equações diferenciais em

sistemas físicos e problemas de engenharia.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (E. D. O).

HISTÓRICO

  Isaac Newton Gottfreied W. Leibniz no século XVII. Newton utou relativamente pouco na área das equações diferenciais, Newton desenvolveu um método para resolver a equação de primeira ordem em que f(x, y) é um polinômio em x e y. Leibniz foi autodidata em matemática, ele compreendia o poder de uma noção de matemática, descobriu método de separação de uma equação ·.[pic 3][pic 4]

 No século XVIII, um dele foi Jakob Bernoulli e seu irmão Johann Bernoulli que se aprofundou no conceito de calculo de Leibniz, ainda no mesmo século Leonhard Euler conseguiu identificar o papel e as estruturas das funções, propriedades e o significado das funções exponenciais, logarítmica, trigonométrica, também desenvolveu uma teoria dos fatores integrantes e encontrou a solução geral para equações de coeficiente constantes  .[pic 5]

Passo 2

Revisar os conteúdos sobre diferencial de uma função e sobre as técnicas de integração de

funções de uma variável. Utilizar como bibliografia o Livro-Texto da disciplina (identificado

ao final da ATPS).

EQUAÇÃO DIFERENCIAL

 Uma equação diferencial é aquela em que a função incógnita aparece sob a forma da sua derivada.Havendo uma só variável independente as derivadas são ordinárias e a equação é denominada equação diferencial ordinária.

 +3+2y = 0 ; xy’+y = 3 ;y”’+2(y”)+y’= cos x[pic 6][pic 7]

Havendo duas ou mais variáveis independentes as derivadas são parciais e a equação é denominada equação diferencial parcial.

 = x² + y[pic 8]

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS

Se numa equação diferencial da forma M( x, y )dx+ N( x, y )dy = 0, é possível decompor os coeficientes M( x, y ) e N( x, y )em fatores tais que as variáveis x e y aparecem separadas, isto é, M( x, y ) = a( x ). b( y ) e N( x, y ) = c( x ).d( y ), a equação classifica-se de variáveis separáveis. Se a equação é de variáveis separáveis então podemos passar da forma canónica M(x, y)dx+ N(x, y) dy = 0 para a forma a(x). b( y )dx +c( x ).d( y )dy= 0 Separando as variáveis x e y, de forma a que os coeficientes de dx e dy sejam respectivamente funções de x e de y, resulta uma equação de variáveis separadas.  

Assim vem:
dx +  dy = 0[pic 9][pic 10]

Integrando:

dx + = c[pic 11][pic 12]

Passo 3

Estudar o método de resolução de equações diferenciais lineares de variáveis separáveis e de

primeira ordem. Utilizar como bibliografia o Livro-Texto da disciplina (identificado ao final

da ATPS)

1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES

Uma equação de primeira ordem diz-se linear se é do primeiro grau na função incógnita e na sua primeira derivada, podendo representar-se simbolicamente por y'+P(x)y = Q(x) com P(x) e Q(x), funções contínuas. Se Q(x) =0, y'+P(x)y = 0 diz-se uma equação linear homogénea, que é uma equação de variáveis separáveis. Se Q(x) ¹0, a equação linear é não homogénea, completa ou com segundo membro.

Y= [ Q(x) dx + C1][pic 13][pic 14]

1. EQUAÇÕES DE BERNOUILLI

Uma equação de primeira ordem diz-se de Bernouilli se pode ser reduzida à forma simples de apresentar algum objeto matemático, podendo ser uma matriz, uma equação. y'+P(x)y =Q(x)y, com P(x) e Q(x), funções contínuas e n constante. Resolução de Equações de Bernouilli para resolver uma Equação de Bernouilli primeiro que tudo multiplicamos ambos os membros da equação por seguidamente fazemos a mudança de variável                                  

y = [Q(x) dx + C1][pic 15][pic 16]

Passo 4 (Equipe)

Pesquisar, em livros, artigos e sites, sobre a modelagem de circuitos elétricos por meio de equações diferenciais

 

CIRCUITOS ELÉTRICOS.

Em nossa vida, estamos cercados por aparelhos que são constituídos de sistemas elétricos, por exemplo, um controlador da velocidade de um automóvel necessita de certos circuitos elétricos para funcionar. As leis básicas que regem os circuitos elétricos são as de Kirchhoff, das correntes e das tensões. Tais leis são baseadas no Princípio de Conservação da Carga Elétrica e no Princípio da Conservação da Energia.

A modelagem matemática de um sistema elétrico simples é feita pela aplicação de uma ou ambas as leis, também chamadas de Lei de Nós e/ou Lei das Malhas. Basicamente, um sistema completo deve satisfazer as duas leis de Kirchhoff.

CIRCUITOS RLC

Os circuitos elétricos são basicamente formados por componentes lineares passivos: resistores de resistência R (ohm), indutores de indutância L (henry), capacitores de capacitância (C) e uma fonte elétrica cuja diferença de potencial é indicada v(t). A figura 01 mostra um exemplo de circuito RLC.

[pic 17]

Entre os elementos de um circuito RLC, existem algumas relações importantes, entre tensão e corrente e entre tensão e carga, que podem ser observadas na tabela abaixo:

[pic 19][pic 18]

[pic 20]

[pic 21]

MÉTODO DOS NÓS

A 1ª Lei de Kirchhoff é chamada de Lei das Correntes ou Lei dos Nós.

Nó é um ponto no circuito onde dois (ou mais) condutores são ligados. A 1ª Lei de Kirchhoff estabelece que a soma das correntes que chegam a um nó de um circuito elétrico é igual à soma das correntes que saem deste mesmo nó, essa lei é baseada no Princípio da Conservação da carga elétrica.