EQUAÇÕES ALGÉBRICAS TRANSCENDENTES MÉTODOS DE RESOLUÇÃO
Por: Welton Lima • 15/4/2015 • Ensaio • 1.396 Palavras (6 Páginas) • 287 Visualizações
EQUAÇÕES ALGÉBRICAS TRANSCENDENTES
MÉTODOS DE RESOLUÇÃO
Dada uma função f(x), se x é uma raiz da equação f(x) = 0 então f( x ) = 0 e x é o ponto onde o gráfico de f(x) cruza – se com o eixo x[pic 1][pic 2][pic 3]
[pic 4][pic 5]
[pic 6][pic 7]
[pic 8][pic 9]
Para equações algébricas de 1º e 2º graus obtemos a(s) raiz(es) através de fórmulas prontas. Entretanto para equações com grau n > 2 ou equações transcendentes: sen x, cos x, ln x, ex, etc, é necessário que se procurem métodos aproximados para descobrir as raízes das equações. Convém salientar que o valor exato x da raiz aproximada x nunca será encontrado. Vamos sempre chegar tão próximo de x quanto necessário.[pic 10]
É fato que sempre cometeremos um erro, dado por:
ξ = | x – x | , onde x = x ± ξ ξ = 0,01[pic 11][pic 12]
ξ = 0,001
ξ = 0,0001
x = valor exato da raiz
x = valor aproximado da raiz[pic 13]
Inicialmente obtemos o intervalo onde se encontra o valor de x da raiz, através do método gráfico e como uma 1ª aproximação, obtemos a média aritmética dos pontos desse intervalo: x0 = [pic 14][pic 15]
Teorema de Bolzano: “Se f(x) é contínua num intervalo [a,b] e f(a) e f(b) tem sinais contrários, então uma raiz x em [a,b].” [pic 16][pic 17]
[pic 18][pic 19]
f(a) . f(b) < 0 [pic 20][pic 21]
- Método da Dicotomia
Exemplo : x ² – sen x = 0 ξ ≤ 0,01
Solução:
1º Passo: Obter graficamente o intervalo [a,b] onde esta situado x [pic 22]
f(x) = x ² – sen x = 0 x ² = sen x[pic 23][pic 24]
[pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]
[pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]
[pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37]
x x ² x sen x [pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]
0 0 0 0
1 1 0,5 0,47
2 4 1 0,84
-1 1 1,5 0,99 [pic 42][pic 43][pic 44][pic 45]
-2 4 -0,5 -0,47[pic 46][pic 47]
-1 -0,84[pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52]
[pic 53]
Teorema de Bolzano:
f(x) = x ² – sen x
f(ai) = f(0,1) = 0,1² – sen 0,1 < 0 [pic 54]
f(bi) = f(1) = 1² – sen 1 > 0[pic 55]
1ª aproximação: x0 = (0 + 1)/2 = 0,5
2º Passo: Pelo Teorema de Bolzano, comprovamos que a raiz esta situada entre [0,1]
...