Atividade Individual - Metodos Quantitativos Aplicados a Finanças

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Teoria de Markowitz

Aplicação da Distribuição Normal e Análise de Investimentos

Agosto/2017

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Elaborado por: 

Disciplina: Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças

Turma: 

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Tópicos desenvolvidos

A proposta deste relatório norteia-se em demonstrar o impacto e a utilidade do uso da Teoria de Markowitz, com a aplicação da distribuição normal sobre a análise de investimentos, neste caso, do Bank Zeta, cuja maioria dos investimentos são de renda variável.

Para tanto, o relatório a seguir irá demonstrar:

• A distribuição normal e sua aplicação na área de investimentos;
• Os cálculos de probabilidade de investimentos na distribuição normal.

Apresentação e objetivo

O objetivo desta atividade individual é demonstrar o impacto e a utilidade do uso da Teoria de Markowitz com a aplicação da distribuição normal sobre a análise de investimentos, propondo a diversificação do portfólio.

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Desenvolvimento

Distribuição normal e sua aplicação na área de investimentos

A Teoria das Carteiras foi formulada por Harry Markowitz, em 1952. Anteriormente a ela, os analistas de investimentos consideravam somente o retorno esperado dos ativos como critério de formação do portfólio. Porém, a incerteza do futuro faz com que as decisões financeiras levem em consideração o Risco.

Naquela época, o risco de um ativo financeiro qualquer era medido pelo seu desvio-padrão. Ainda hoje, apesar de existirem diversas outras métricas, o desvio-padrão ainda é muito utilizado.

Nesse sentido, o ponto principal da teoria de Markowitz é que o risco de um ativo medido de maneira isolada é diferente quando esse ativo é englobado em uma carteira, ou seja, não se pode calcular o desvio-padrão de uma carteira apenas somando ou obtendo a média dos desvios de cada ativo, isoladamente, já que há correlação entre as movimentações de diversos ativos.

Na área de investimentos, ponto crucial para ser considerado é o risco sobre os ativos devido as incertezas em relação ao retorno futuro. A partir da relação de risco e retorno é que a Teoria de Markowitz, ou Teoria das Carteiras, vem auxiliar o mercado financeiro. Em seus estudos, Markowitz apresentou uma forma de diversificar os investimentos, contrariando o pensamento de concentrar todo o recurso em opções que apresentavam um maior retorno, já que a diversificação é uma estratégia de administração de riscos. A proposta baseia-se em estudos de compensação de risco entre os ativos que compõem as carteiras, para buscar combinações mais eficientes na relação entre o risco e o retorno, com o objetivo de maximizar o retorno e reduzir o risco. Dessa forma, um investidor deve buscar no mercado o máximo retorno possível de seu investimento, dentro de níveis de risco aceitáveis.

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Fig. 1 – Representação Gráfica da Distribuição Normal

Cálculos de probabilidades de investimentos na distribuição normal

A fórmula da distribuição normal sempre apresenta a probabilidade de o retorno ocorrer entre menos infinito e o retorno considerado. Como a normal é uma distribuição contínua, não há sentido em falar em probabilidade de um valor exato de retorno. Dessa forma, a expressão N(7%) será a probabilidade de o retorno do fundo (ou ativo) ser menor que 7%. De forma análoga, N(10%) é a probabilidade de o retorno ficar situado abaixo de 10%.

Para fins de elucidação de cálculo, serão utilizados os seguintes critérios:

• Rendimento de 9% com desvio padrão de 20%;
• Análise de faixas de rendimento:

1. Menor que 7%;
2. Entre 7% e 10%;
3. Acima de 10%.

Como o total das probabilidades debaixo da curva da normal de menos infinito a mais infinito será sempre 1, ou seja, 100%, os cálculos para os itens questionados podem ser feitos da seguinte maneira:

1. Retorno menor que 7% => N(7%)

Antes de qualquer passo, é necessário normalizar o valor para que se possa, posteriormente, localizá-lo dentro da Tabela Normal Padronizada (vide Tabela 1 em Anexos), que demonstra a probabilidade do evento ocorrer. Para isto, devemos aplicar a seguinte fórmula:

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Assim, o valor w de distribuição normal não padronizada é transformado para um valor z, que corresponderá ao seu valor na distribuição normal padronizada. Para tal, deve-se subtrair do valor w a média da distribuição normal não padronizada, dividindo este resultado pelo desvio-padrão da normal não padronizada, como segue:

Z = (7%-9%) ÷ 20%

Z = -0,10

A Tabela Normal Padronizada apresenta somente números positivos para z, entretanto, como a distribuição é simétrica, é possível dizer que a área abaixo do ponto -0,10 será o complemento da área do ponto 0,10. Desta forma, o resultado é o seguinte:

P(w ≤ -0,10) = 1 - P(w ≤ +0,10) = 1 – 0,5398 = 0,4602

A probabilidade desse investimento dar um valor abaixo de 7% de retorno é de 46,02%.

1. Retorno 7% e 10% => N(10%) - N(7%)

O método para encontrar o valor de N(10%) será o mesmo mencionado anteriormente:

Z = (10% - 9%) ÷ 20%

Z = 0,05

O valor correspondente, na Tabela Normal Padronizada, para este valor de Z é 0,5199. Substituindo o valor na fórmula, encontra-se:

N(10%) – N(7%) = 0,5199 - 0,4602 = 0,0597

O resultado, então, demonstra que a probabilidade do investimento resultar entre 7% e 10% é de 5,97%.

1. Retorno maior que 10%: 1- N(10%)

Uma vez que o valor para N(10%) já foi identificado no passo anterior, basta substituí-lo na fórmula:

1 – N(10%) = 1 – 0,5199 = 0,4801

Desta forma, a probabilidade do investimento resultar acima dos 10% de retorno é de 48,01%.

Considerações finais e recomendações

ASSAF NETO (2007) esclarece que a teoria de Markowitz faz parte do processo de avaliação de carteiras de investimentos, considerado por diversas instituições financeiras, o qual envolve três grandes fases:

1. Análise dos títulos: verifica as bases da avaliação de ativos, onde observa-se o valor intrínseco de um título por descontar os fluxos futuros a uma taxa de atratividade, ou seja, de maneira isolada;
2. A análise de carteiras: projeções de retorno esperado e do risco de um conjunto de ativos ou fundos -> diversificação;
3. Seleção de carteiras: estuda a melhor combinação possível dos ativos analisados e sugere uma alocação de ativos dentro de uma carteira que maximize a satisfação do investidor.

Determinar a melhor maneira de se realizar um investimento engloba uma série de fatores que são impossíveis de se produzir utilizando apenas métodos matemáticos básicos e análises superficiais, já que existem no mercado grande variedade de investimentos, com características e naturezas diferentes.