Finanças e Gestão de Risco

3ª Lista de Exercícios

1. A distribuição de frequências abaixo descreve as perdas de uma companhia de Oléo e Gás nos últimos anos. A companhia pretende supor que a distribuição de frequência de perdas permanecerá no futuro e utilizará essa tabela para prever perdas e orientar a aquisição de seguros. Ao distribuir as perdas em intervalos os analistas podem considerar os eventos uniformemente distribuídos dentro de cada intervalo. Esses intervalos costumam ser chamados de “camadas”.

1. Use a distribuição Uniforme para representar a camada 2. Calcule sua média e variância.
2. Repita a letra a) para a camada 6
3. Se ocorrer uma perda na camada 2, qual é a probabilidade de que seja maior do que $10.000? E que seja menor do que $25.000?
4. Se ocorrer uma perda na camada 6, qual a probabilidade de ser entre $750.000 e $1.000.000? Que seja maior do que $900.000? Que seja exatamente $900.000?

Camadas	Perdas ($M)	Frequência
1	0,00 – 0,01	668
2	0,01 – 0,05	38
3	0,05 – 0,10	7
4	0,10 – 0,25	4
5	0,25 – 0,50	2
6	0,50 – 1,00	1
7	1,00 – 2,50	0

1. Seja Z uma variável aleatória com distribuição normal padrão, ou seja, Z tem distribuição normal com média igual a 0 e variância, 1. Calcule:

a) P(Z > 0,75)

b) P(Z<-0,66)

c) P(Z > - 1,23)

d) P(-1,33 < Z < 1,33)

e) P(|Z| > 0,58)

Atenção! Para a solução deste exercício, utilize a tabela da Normal ou no Excel a função – DIST.NORM(x; média; desvio padrão; cumulativo)

Nota) Cumulativo   é um valor lógico que determina a forma da função. Se cumulativo for VERDADEIRO, DIST.NORM retornará o valor da função de distribuição acumulada (FDA); se for FALSO, retornará o valor da função densidade de probabilidade (FDP).

1. Seja Z uma variável aleatória com distribuição normal, média 3 e variância 9. Calcule:

a) P(Z > 0,75)

b) P(-0,39 < Z < 0,72)

1. Seja Z uma variável aleatória com distribuição normal, média 3 e variância 16. Calcule:

1. P(-0,39 < Z < 0,72)
2. P(|Z| > 0,58)

1. O tempo entre as cargas da bateria de um smartphone é distribuída normalmente com uma média de 10h e um desvio padrão de 1.5h. Calcule a probabilidade desse telefone funcione entre 8 e 12h entre as cargas.

1. Calcule o valor t de uma variável Normal padrão que só será ultrapassado em:

1. 10% das vezes;
2. 5% das vezes;
3. 1% das vezes.

1. Suponha um fabricante de tintas tenha uma produção mensal de x, que tem uma distribuição Normal, com média 100.000 litros e desvio padrão de 10.000 litros. A Gerência quer criar um bônus para a equipe sempre que a produção passar do 90º percentil. A partir de que nível de produção o bônus será pago?

1. Casino gaming. Casino gaming yields over $35 billion in revenue each year in the United States. In Chance (Spring 2005), University of Denver statistician R. C. Hannum discussed the business of casino gaming and its reliance on the laws of probability. Casino games of pure chance (e.g, craps, roulette, baccarat, and keno) always yield a “house advantage.” For example, in the game of double-zero roulette, the expected casino win percentage is 5.26% on bets made on whether the outcome will be either black or red. (This percentage implies that for every $5 bet on black or red, the casino will earn a net of about 25 cents.) It can be shown that in 100 roulette plays on black/red, the average casino win percentage is normally distributed with mean 5.26% and standard deviation 10%. Let x represent the average casino win percentage after 100 bets on black/red in double-zero roulette.

1. Find P(x > 0). (This is the probability that the casino wins money.)
2. Find P(5 < x < 15).
3. Find P( x < 1)
4. If you observed an average casino win percentage of -25% after 100 roulette bets on black/red, what would you conclude?

1. O retorno mensal de uma ação é uma medida usual dos investidores para avaliar a performance de um ativo ao longo do tempo. É um fato bem documentado na literatura que frequentemente conseguimos aproximar a distribuição de retornos de um determinado ativo ou portfolio à uma distribuição Normal. Supondo dois portfólios, A e B, o primeiro com retorno esperado de 0.05 e d.p. de 0.03 e o segundo com retorno esperado de 0.07 e d.p. de 0.05. Responda:

1. Qual dos dois é mais atrativo para o investidor comum?
2. Qual a probabilidade do investidor incorrer em uma perda superior a -0.015 em cada caso?

1. Com o auxílio de um programa de computador [No Excel: Dados => Análise de Dados => Geração de número aleatório], gere 2.000 valores aleatórios a partir de uma variável aleatória com distribuição normal com média e variância estipuladas abaixo. Após gerar os dados, construa o histograma correspondente [No Excel: Dados => Análise de Dados => Histograma (selecionar “Nova planilha” e “Resultado do gráfico”)].

1. Média = 0; Desvio padrão: 1.
2. Média = - 5; Desvio padrão: 1.
3. Média = 5; Desvio padrão: 1.
4. Compare os histogramas obtidos com base no gráfico da função de distribuição de probabilidade (FDP) para cada uma das distribuições listadas.

1. Considere uma variável aleatória X com função de distribuição dada por

1. F(x) = 0         , x<0.

             = 1-e-2x  , x ≥ 0.

A função de densidade que representa esta variável é

[pic 1]

Obs) A função fX é a densidade de uma v.a. X se, e somente se,  

a) fX(x) ≥ 0, para todo valor x Є .[pic 2]

b)  = 1.[pic 3]

Em outras palavras, teoricamente, qualquer função f, que seja não negativa e cuja área total sob a curva seja igual a 1, caracterizará uma v.a. contínua.

1.  Considere a seguinte função de densidade de probabilidade:

f(x)=2(1-x) para 0 ≤ x ≤ a.

O valor da constante a é:

(A) 1/2        (B) 1                (C) 3/2        (D) 2                (E) 5/2

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