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MATEMÁTICA

Por:   •  22/10/2016  •  Projeto de pesquisa  •  997 Palavras (4 Páginas)  •  199 Visualizações

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The powerset of a set is a Boolean ring under intersection and symmetric difference

Let [pic 1] be a nonempty set and let [pic 2] denote the power set of [pic 3]. Define operators [pic 4] and [pic 5] on [pic 6] as follows: [pic 7] and [pic 8].

  1. Prove that [pic 9] is a ring under these operators.
  2. Prove that this ring is commutative, has an identity, and is Boolean.

Before we begin, note that for all sets [pic 10][pic 11], and [pic 12], the following hold.

  • [pic 13]
  • [pic 14]
  • [pic 15]
  • [pic 16]

Now let [pic 17]. We have the following.

[pic 18]

 = 

[pic 19]

 = 

[pic 20] [pic 21]

 = 

[pic 22] [pic 23]

 = 

[pic 24] [pic 25]

 = 

[pic 26] [pic 27] [pic 28] [pic 29] [pic 30] [pic 31]

 = 

[pic 32] [pic 33] [pic 34] [pic 35]

 = 

[pic 36] [pic 37] [pic 38] [pic 39] [pic 40] [pic 41]

 = 

[pic 42] [pic 43] [pic 44]

 = 

[pic 45] [pic 46]

 = 

[pic 47] [pic 48]

 = 

[pic 49] [pic 50]

 = 

[pic 51] [pic 52]

 = 

[pic 53] [pic 54]

 = 

[pic 55]

So [pic 56] is associative. Moreover,

...

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