Os Conjuntos Numéricos

1. Conjuntos Numéricos

• Conjuntos dos  númerosNaturais: São todos os números positivos inclusive o zero.

                                IN={0,1, 2, 3,...}

• Conjunto dos números Inteiros: São todos os números positivos e negativos inclusive o zero.

                                Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

• Conjunto dos números Racionais: São todos os números decimais exatos ou dízimas periódicas.

                                Q [pic 1]

• Conjunto dos números Irracionais:São todos os números decimais não exatos e  não periódicos.

                                I[pic 2]

• Conjunto dos números Reais:

                                            IR = Q [pic 3] I

1. Conjuntos – Conceito e operações

A Teoria dos Conjuntos, foi formulada no fim do século XIX pelo matemático russo Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor. Conjuntos não podem ser definidos, mas entende-se por conjunto toda lista de objetos e símbolos que seja bem definida.

Conceitos primitivos:

- Conjunto;
- Elemento;
- Pertinência.

Ao pensarmos em uma coleção de objetos, podemos associar a conjunto. Esses objetos da coleção são o que chamamos de elementos do conjunto. Se um elemento está presente em um conjunto, dizemos que o elemento pertence (∈) ao conjunto. Caso contrário, dizemos que ele não pertence.

2.1 Símbolos

[pic 4]

A linguagem escrita pode ser simplificada com os símbolos descritos nos exemplos a seguir:

- O elemento 1(um) pertence ao conjunto A: 1∈A
- O elemento 3 não pertence ao conjunto A: 3∉A
- Existe algum: ∃
- Qualquer que seja: ∀
- Tal que: |

Conjuntos importantes:
- Conjunto vazio: não possui nenhum elemento. É representado por ∅ ou {  }.
- Conjunto unitário: possui um único elemento.

2.2. Representações

Um conjunto pode ser representado da seguinte maneira:

1. Enumerando seus elementos entre chaves, separados por vírgulas;

Exemplos:
A = {–1, 0, 1}
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4,...}

1. indicando, entre chaves, uma propriedade que caracterize cada um de seus elementos;

Exemplos:
A={x∈Z |−2<x<2}
N={x∈Z│x≥0 }

1. Por meio de uma figura fechada, dentro da qual podem-se escrever seus elementos. “Diagrama de Venn-Euler”.

[pic 5]

2.3 Subconjuntos

O conjunto A é subconjunto de B se todo elemento de A é elemento de B. Representa-se A⊂B(A está contido em B).

Exemplos: Se A = {1,2,3} e B = { 0,1,2,4,3}, então A⊂B, pois todo elemento de A é elemento de B.

2.4 Igualdade de conjuntos

Os conjuntos A e B são iguais quando possuem os mesmos elementos. Representa-se A = B.

Exercicios:

1. Dados os conjuntos A = {0;1}, B = {0;2;3} e C = {0;1;2;3}, classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) cada afirmação abaixo:

a) (   ) A [pic 6] B

b) (   ) {1} [pic 7] A

c) (   ) A [pic 8] C

d) (   ) B [pic 9] C

e) (   ) B [pic 10] C

f) (    ) {0;2} [pic 11] B

2) Escreva o conjunto expresso pela propriedade:

a) x é um conjunto natural menor que 8.

b) x é um número natural maior que 5 e menor que 30.

1. Operações  Com Conjuntos

3.1 União

A união (ou reunião) dos conjuntos A e B é o conjunto A ∪ B, formado por todos os elementos de A mais os elementos de  B. Assim, afirmar que x ∈ A ∪ B significa dizer que pelo  menos  uma  das  afirmações  seguintes  é  verdadeira:  x  ∈  A   ou  x   ∈  B.  Podemos escrever

A ∪ B = { x |  x ∈ A  oux ∈ B}.

Exemplo:Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 5, 7} e C = {5, 6, 7, 8, 9}, vamos obter:

a) A ∪ B.
b) A ∪ B ∪ C.

3.2 Interseção

A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto   A  ∩  B,  formado  por  todos  os elementos comuns a  A e B. Assim, afirmar que   x  ∈ A ∩ B significa dizer  que se tem, ao mesmo tempo, x ∈ A  e x ∈ B. Escrevemos então:

A ∩ B = { x |  x ∈ A  e x ∈ B}

Exemplos:
Dados os conjuntos A = {0, 1, 5}, B = {0, 2, 5, 7}, C = {4, 6, 7, 9} e D = {0, 1, 6}, vamos obter:
a) A ∩ B.
b) A ∩ C.
c) A ∩ B ∩ D.