Trabalho ATPS

1) Determine a derivada das funções abaixo:

a) f(x) = sen(2x^3+5x^2 -10)

b) y = x^2 cos⁡(3x^2-2x)

c) h(x) = (2+3x)^2

2(2+3x) . (2+3x)’

2(2+3x) . 3

6(2+3x)

d) h(x) = √(2x-x^2 )

(2x-x^2 )^(1/2)

½ (2x-x^2 )^(1/2) . (2x – x^2)'

½ (2x-x^2 )^(1/2) . (2-2x)

1.(2-2x)

2(2x〖-x〗^2 )^(1/2)

2-2x

2√2x 〖-x〗^2

e) y= ((3x^2-2)/(2x^3-3) )^5

f) f(t) = ∛(1+tg(t))

g) g(x) = (1 + 4x)^5 (3 + x - x^2 )^8

h) f(x) = (x^2+1)/ ∛((x^2+2))

2) Seja f(x) = 1/3 x^3- 1/2 x^2-6x+8 determine:

a) os pontos críticos;

b) os intervalos onde f é crescente e decrescente;

c) os valores máximos e mínimos de f.

f(x) = 1/3 x^3- 1/2 x^2-6x+8

f(x)’ = 3/3 x^2- 2x/2 -6

f(x)’ = x^2-1x -6 = 0

x=(-(-1)±√(〖(-1)〗^2-4.1.(-6)))/2

(-(-1)±√25)/2

((1)±5)/2

x_1 = 3 NUMEROS CRÍTICOS

x_2 = -2

〖(1° derivada) f(x)' = x〗^2-1x -6 = 0

(2° derivada) f(x)'' = 2x-1

f(x)'' = 2x-1

f(3)^''= 2.3-1

f(x)'' = 5

〖(1° derivada) f(x)' = x〗^2-1x -6 = 0

(2° derivada) f(x)'' = 2x-1

f(x)'' = 2x-1

f(-2)^''= 2.(-2)-1

f(x)^''= -5

Logo 5>0 = mínimo relativo

Logo -5<0 = máximo relativo

3) A função custo mensal de fabricação de um produto é dada por C(x) = e a função de demanda mensal (p),do mesmo produto, é dada por p(x) = . Qual o preço x que deve ser cobrado para maximizar o lucro?

Dados: Lucro(L) = Receita(R) - Custo(C)

Resolução:

Lucro(L) = Receita(R) - Custo(C)

Receita = p . x

R = p . x

R = (10-x) . x

R = 10x - x^2

Lucro(L) = Receita(R) - Custo(C)

L(x) = (10x - x^2) – X3/3 – 2x^2+10x + 1

L(x)= 10x - x^2 – X3/3 + 2x^2-10x - 1

L(x) = – X3/3 + x^2 – 1

Calculando a 1° DERIVADA = L(x) = – X3/3 + x^2 – 1

L^'(x) = – 3x2/3 + 2x

L(x)= - x^2 + 2x ⇛ L^'(x)= - x^2 + 2x

Calculando a 2° DERIVADA = L^'(x)= - x^2 + 2x

⇛ L^''(x)= -2x + 1

PONTOS CRÍTICOS DE L: na 1° derivada〖 ⇛L〗^'(x)= - x^2 + 2x

L(X) = 0

x_1 = 0

x_2 = 2

EXTREMOS RELATIVOS:

⇛ para x=0, temos ⇛ L^''(0)= -2.0 + 1

〖 L〗^''(0)= 0 + 1 ⇛ 1

⇛ para x=2, temos ⇛ L^''(2)= -2.2 + 1

〖 L〗^''(0)= -4 + 1 ⇛ -3

1>0, logo é um ponto de MINIMO RELATIVO de L.

-3<0, logo é um ponto de MAXIMO RELATIVO de L.

Portanto, o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro é

x = 2.

4) Uma empresa produz determinado produto, com um custo mensal dado pela função C(x) = . Cada unidade deste produto é vendido por R$31,00. Determinar a quantidade que deve ser