A Teoria da Otimização para Funções de uma e várias variáveis Otimização Condicionada

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Economia Aplicada a Engenharia Ambiental

Teoria da Otimização para Funções de uma e várias variáveis Otimização Condicionada com restrições de igualdade

Profa: Márcia Guedes Alcoforado de Moraes

1o. semestre 2020

Formas Quadráticas, Matrizes Definidas

1. Mostre que se A e uma matriz simétrica então A é definida positiva se e somente todos os autovalores de A são estritamente maiores que 0, e se A é definida negativa se e somente se todos os autovalores são estritamente menores que zero.
2. Mostre, completando quadrados, que para assegurarmos que a forma quadrática geral de duas variáveis[pic 3][pic 4][pic 5]

Q(x , x[pic 6]

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) = ax 2 + 2bx x

---

• cx 2 seja positiva definida (ou seja estritamente positiva independente dos

valores de (x1 , x2 ) ≠ 0 , teriam que ser atendidas simultaneamente as duas condições:[pic 7][pic 8]

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a > 0 e

ac − b 2 > 0 . No entanto, se queremos assegurar a definidade positiva desta mesma forma, mas agora

restrita ao espaço vetorial

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Ax1 + Bx2 = 0 , a condição passa a ser aB 2 − 2bAB + cA2 > 0

1. Mostre que a condição para uma forma quadrática geral de duas variáveis

Q(x x ) = ax 2 + 2bx x

---

• cx 2

---

Ax1 + Bx2 = 0

1,  2        1

---

1  2        2

---

sujeita a restrição

---

ser definida positiva (negativa) é

dada pelo sinal do determinante (negativo e positivo respectivamente) da chamada matriz orlada dada poR:

⎡ 0

⎢[pic 9]

⎢

⎢⎣B

1. ​

---

A        B⎤

a        ⎥[pic 10][pic 11]

b        c ⎥⎦

[pic 12]

Otimização Condicionada (Restrições de Igualdade) (Use as condições de 1ª e 2ª ordem)

1. Calcule os pontos de máximo ou mínimo relativos das funções abaixo (), sujeitas as restrições impostas ao lado:

1. z = 10x 2 − 16xy + 10 y 2 sendo x 2 + y 2 = 1
2. z = (x − 3)2 + y 2 sujeito a y − 2x − 3 = 0
3. z = 6x + 8 y − 8 sujeito a (x − 2)2 + ( y − 1)2 = 25

1. Se a função de utilidade do consumidor é U = q 2 q[pic 13][pic 14]

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, p1

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= 4, p2

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= 5, e y(renda) =120, determine as

quantidades q1 e q2 que ele deve comprar, de forma a maximizar sua utilidade

1. Calcule os pontos críticos e classifique-os quanto a sua natureza, da função w = x 2 + y 2 + z tendo como

restrição

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2x  + 3y − z  = 1

1        2        2        2        g 1 ( X ) = x − x  = 0[pic 15]

1. Minimize

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f ( X ) =

---

2 (x1

---

+ x2 + x3 )

---

1        2

sujeito às seguintes restrições        e

g 2 ( X ) = x[pic 16]

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• x2

---

• x3

---

= 1.

1. Explique porque podemos assegurar que os pontos no conjunto-restrição satisfazem QRND e então aplique as condições de 1ª. e 2ª. ordem para identificar o mínimo condicionado.
2. Qual das constantes nas restrições alteraria o valor ótimo da função objetivo? Explique. Suponha um valor diferente para a tal constante e estime o novo valor ótimo diante da modificação sugerida.

1. O custo de produção C, como uma função das quantidades x e y produzidas, de dois tipos de artigos, é dado por: C = 6x 2 + 3y 2 . Para minimizar o custo, que quantidades dos dois artigos devem ser produzidas se x + y = 18

2        1

1. Encontrar o máximo da função de produção dada por: f(x, y) = x 3 y 3 , sujeita a restrição orçamentária[pic 17][pic 18]

g(x, y) = x + y = 3,78 . Suponha agora que o orçamento possa ser ligeiramente aumentado, o que deve-se esperar do novo valor ótimo da função de produção? Deverá ser maior ou menor e de aproximadamente quanto?

1. Uma companhia manufatura um produto que exige capital e trabalho para produção. A quantidade Q do produto manufaturado é dada pela função de produção de Cobb-Douglas

Q = AK αLβ

Onde K é a quantidade de capital e L a quantidade de trabalho usados, e A, α, β

são constantes positivas com 0< α < 1 e 0< β < 1. Suponha que uma unidade de capital custe $k e uma unidade de trabalho custe $l. O preço do produto é fixado a $p por unidade.

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