A Teoria da Otimização para Funções de uma e várias variáveis Otimização Condicionada
Por: gcdf29 • 26/11/2023 • Exam • 1.216 Palavras (5 Páginas) • 50 Visualizações
[pic 1][pic 2]
Economia Aplicada a Engenharia Ambiental
Teoria da Otimização para Funções de uma e várias variáveis Otimização Condicionada com restrições de igualdade
Profa: Márcia Guedes Alcoforado de Moraes
1o. semestre 2020
Formas Quadráticas, Matrizes Definidas
- Mostre que se A e uma matriz simétrica então A é definida positiva se e somente todos os autovalores de A são estritamente maiores que 0, e se A é definida negativa se e somente se todos os autovalores são estritamente menores que zero.
- Mostre, completando quadrados, que para assegurarmos que a forma quadrática geral de duas variáveis[pic 3][pic 4][pic 5]
Q(x , x[pic 6]
) = ax 2 + 2bx x
- cx 2 seja positiva definida (ou seja estritamente positiva independente dos
valores de (x1 , x2 ) ≠ 0 , teriam que ser atendidas simultaneamente as duas condições:[pic 7][pic 8]
a > 0 e
ac − b 2 > 0 . No entanto, se queremos assegurar a definidade positiva desta mesma forma, mas agora
restrita ao espaço vetorial
Ax1 + Bx2 = 0 , a condição passa a ser aB 2 − 2bAB + cA2 > 0
- Mostre que a condição para uma forma quadrática geral de duas variáveis
Q(x x ) = ax 2 + 2bx x
- cx 2
Ax1 + Bx2 = 0
1, 2 1
1 2 2
sujeita a restrição
ser definida positiva (negativa) é
dada pelo sinal do determinante (negativo e positivo respectivamente) da chamada matriz orlada dada poR:
⎡ 0
⎢[pic 9]
⎢
⎢⎣B
-
A B⎤
a ⎥[pic 10][pic 11]
b c ⎥⎦
[pic 12]
Otimização Condicionada (Restrições de Igualdade) (Use as condições de 1ª e 2ª ordem)
- Calcule os pontos de máximo ou mínimo relativos das funções abaixo (), sujeitas as restrições impostas ao lado:
- z = 10x 2 − 16xy + 10 y 2 sendo x 2 + y 2 = 1
- z = (x − 3)2 + y 2 sujeito a y − 2x − 3 = 0
- z = 6x + 8 y − 8 sujeito a (x − 2)2 + ( y − 1)2 = 25
- Se a função de utilidade do consumidor é U = q 2 q[pic 13][pic 14]
, p1
= 4, p2
= 5, e y(renda) =120, determine as
quantidades q1 e q2 que ele deve comprar, de forma a maximizar sua utilidade
- Calcule os pontos críticos e classifique-os quanto a sua natureza, da função w = x 2 + y 2 + z tendo como
restrição
2x + 3y − z = 1
1 2 2 2 g 1 ( X ) = x − x = 0[pic 15]
- Minimize
f ( X ) =
2 (x1
+ x2 + x3 )
1 2
sujeito às seguintes restrições e
g 2 ( X ) = x[pic 16]
- x2
- x3
= 1.
- Explique porque podemos assegurar que os pontos no conjunto-restrição satisfazem QRND e então aplique as condições de 1ª. e 2ª. ordem para identificar o mínimo condicionado.
- Qual das constantes nas restrições alteraria o valor ótimo da função objetivo? Explique. Suponha um valor diferente para a tal constante e estime o novo valor ótimo diante da modificação sugerida.
- O custo de produção C, como uma função das quantidades x e y produzidas, de dois tipos de artigos, é dado por: C = 6x 2 + 3y 2 . Para minimizar o custo, que quantidades dos dois artigos devem ser produzidas se x + y = 18
2 1
- Encontrar o máximo da função de produção dada por: f(x, y) = x 3 y 3 , sujeita a restrição orçamentária[pic 17][pic 18]
g(x, y) = x + y = 3,78 . Suponha agora que o orçamento possa ser ligeiramente aumentado, o que deve-se esperar do novo valor ótimo da função de produção? Deverá ser maior ou menor e de aproximadamente quanto?
- Uma companhia manufatura um produto que exige capital e trabalho para produção. A quantidade Q do produto manufaturado é dada pela função de produção de Cobb-Douglas
Q = AK αLβ
Onde K é a quantidade de capital e L a quantidade de trabalho usados, e A, α, β
são constantes positivas com 0< α < 1 e 0< β < 1. Suponha que uma unidade de capital custe $k e uma unidade de trabalho custe $l. O preço do produto é fixado a $p por unidade.
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