CÁLCULO DE INTEGRADOS CERTOS E ESPECÍFICOS

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO 2

2. HISTÓRIA DO CÁLCULO 3

2.1. Surgimento das Integrais 3

2.2. Surgimento das Técnicas de Integração 7

2.3. Surgimento da Forma de Calcular a Área por Duas Curvas 9

2.4. Surgimento da Forma de Calcular o Volume de um Sólido 12

3. CÁLCULO DE INTEGRAIS DEFINIDAS E INDEFINIDAS 16

3.1. Desafio A 17

3.2. Desafio B 17

3.3. Desafio C 18

3.4. Desafio D 18

4. CONCLUSÃO 21

5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 22

1. INTRODUÇÃO

Com base no desenvolvimento desta atividade, podemos concluir que a matemática, em especial o Cálculo é resultado de diversas contribuições de muitos matemáticos em diferentes períodos históricos. Cada um, ao seu tempo, desenvolveu novas idéias e aperfeiçoou os métodos para o estudo e a aplicação do Cálculo em diferentes áreas do conhecimento, podendo ser aplicado em diversas áreas.

O desafio da atividade em questão requer encontrar a quantidade total mensal de óleo, estimada pelos engenheiros da Petrofuels, que poderá ser extraído de um poço de petróleo recém descoberto. Podendo assim encontrar valores referentes à produção mensal de óleo extraído, baseado na aplicação de exercícios práticos e objetivos para resolução de cálculos matemáticos.

Apresentamos, desta forma, algumas aplicações fundamentais de Cálculo com sua relevante importância e aplicação ao longo dos tempos e as contribuições necessárias para que os mesmos chegassem até os nossos dias da forma como são apresentados, além de aplicar o conhecimento absolvido da teoria e prática tanto em pesquisas como em sala de aula.

2. HISTÓRIA DO CÁLCULO

2.1. Surgimento das Integrais

A história do cálculo encaixa-se em vários períodos distintos, de forma notável nas eras antiga, medieval e moderna.

Na antiguidade, foram introduzidas algumas idéias do cálculo integral, embora não tenha havido um desenvolvimento dessas idéias de forma rigorosa e sistemática. A função básica do cálculo integral, calcular volumes e áreas, pode ser remontada ao Papiro Egípcio de Moscow (1800 a.C.), no qual um egípcio trabalhou o volume de um frustum piramidal. Os primeiros problemas que apareceram na história, relacionados com as integrais são os problemas de quadratura, um termo antigo que se tornou sinônimo do processo de determinar áreas.

Um dos problemas mais antigos enfrentados pelos gregos foi o da medição de superfícies a fim de encontrar suas áreas, quando os antigos geômetras começaram a estudar as áreas de figuras planas, eles as relacionavam com a área do quadrado, por ser essa a figura plana mais simples. Assim, buscavam encontrar um quadrado que tivesse área igual à da figura em questão. Eudoxus (408-355 a.C.) usou o método da exaustão para calcular áreas e volumes. Arquimedes (287-212 a.C.) levou essa idéia além, inventando a heurística, que se aproxima do cálculo integral, também descobriu que a área da região limitada por uma parábola cortada por uma corda qualquer, é igual a 4/3 da área do triângulo que tem a mesma altura e que tem a corda como base.

Arquimedes gerou uma soma com infinitos termos, e conseguiu provar rigorosamente o seu resultado, evitando, com o método da exaustão, a dificuldade com a quantidade infinita de parcelas, foi o primeiro exemplo conhecido de soma infinita resolvido. Outra contribuição de Arquimedes foi a utilização do método da exaustão para encontrar a área do círculo, obtendo uma das primeiras aproximações para o número (p). Outras integrações foram realizadas por Arquimedes a fim de encontrar o volume da esfera, área da superfície esférica, volume do cone, área da superfície cônica, área da região limitada por uma elipse, volume de um parabolóide de revolução e o volume de um hiperbolóide de revolução.

O método da exaustão foi redescoberto na China por Liu Hui no século III, que o usou para encontrar a área do círculo. O método também foi usado por Zu Chongzhi século V, para achar o volume de uma esfera.

Na Idade Média, o matemático indiano Aryabhata usou a noção infinitesimal em 499 d.C. expressando-a em um problema de astronomia na forma de uma equação diferencial básica. Essa equação levou Bhāskara II no século XII a desenvolver uma derivada prematura representado uma mudança infinitesimal, e ele desenvolveu também o que seria uma forma primitiva do "Teorema de Rolle". No século XII, o matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi descobriu a derivada de polinômios cúbicos, um resultado importante no cálculo diferencial. No século XIV, Madhava de Sangamagrama, juntamente com outros matemáticos-astrônomos da Escola Kerala de Astronomia e Matemática, descreveu casos especiais da Série de Taylor, que no texto são tratadas como Yuktibhasa.

Na Idade Moderna, o cálculo abriu novas oportunidades na física-matemática de resolver problemas muito antigos que até então não haviam sido solucionados. Muitos matemáticos contribuíram para essas descobertas, notavelmente John Wallis e Isaac Barrow. James Gregory proveu um caso especial do segundo teorema fundamental do cálculo em 1668. A partir daí, coube a Gottfried Wilhelm von Leibniz e a Isaac Newton recolher essas idéias e juntá-las em um corpo teórico que viria a constituir o cálculo.

Historicamente Newton foi o primeiro a aplicar o cálculo à física ao passo que Leibniz desenvolveu a notação utilizada até os dias de hoje. O argumento histórico para conferir aos dois a invenção do cálculo é que ambos chegaram de maneiras distintas ao teorema fundamental do cálculo. Os próximos matemáticos que tiveram grande contribuição para o nascimento do Cálculo Integral foram Fermat e Cavalieri.

Cavalieri desenvolveu a idéia de Kepler sobre quantidades infinitamente pequenas, aparentemente, Cavalieri pensou na área como uma soma infinita de componentes ou segmentos indivisíveis. Ele mostrou, usando os seus métodos,