MODELAGEM MATEMÁTICA E ANÁLISE DE COMPORTAMENTO DE GRAMAS ELÉTRICAS NA SERIE SÉRIE DA SÉRIE RLC

MODELAGEM MATEMÁTICA E ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE GRANDEZAS ELÉTRICAS NO CIRCUITO RLC SÉRIE

Cleber Mateus Duarte Porciuncula1

Andre Luiz Bedendo2

1 Graduando de licenciatura em Matemática – UNIJUÍ – [e-mail]

2 Mestrando em Modelagem Matemática – UNIJUÍ – [e-mail]

Resumo: A crescente evolução do conhecimento da maneira como os materiais reagem à eletricidade propiciaram ao Homem a elaboração de complexos sistemas de condução das cargas elétricas. Esse desenvolvimento levou a grandes avanços tecnológicos, nos quais o circuito elétrico teve participação fundamental. O circuito elétrico ou eletrônico é um determinado agrupamento de componentes de comportamento elétrico bem definido e destinado à condução de cargas elétricas. O comportamento idealizado dos circuitos é descrito por meio de modelos matemáticos. Por serem fenômenos dinâmicos, estes comportamentos estão propícios à modelagem matemática e computacional. Este trabalho apresenta a modelagem matemática de um circuito RLC série e seus resultados simulados. Através da modelagem matemática deste circuito, que é baseada na lei das tensões de Kirchhoff, chega-se a um modelo matemático que descreve o comportamento de algumas grandezas elétricas em função do tempo. O objetivo proposto é verificar e analisar este comportamento através de soluções gráficas originadas a partir de simulações computacionais. Para isso, a simulação numérica do modelo foi implementada com o aplicativo computacional Simulink, ou seja, software de simulação baseada na representação por esquemas de blocos que é uma extensão gráfica da ferramenta computacional MATLAB. Utilizando o método de integração Runge-Kutta com passo de integração de 0.0001 segundos durante as simulações, no primeiro momento é aplicada uma tensão contínua, e posteriormente, uma tensão alternada senoidal no circuito. A partir de uma análise das soluções gráficas geradas pelas simulações, conclui-se como se comportam as correntes e tensões elétricas no circuito RLC série, bem como as defasagens existentes entres estas duas grandezas, que são originadas a partir de propriedades elétricas presentes nos componentes do circuito. O conhecimento dos comportamentos destas grandezas num circuito é de vital importância para o desenvolvimento de novas tecnologias e aplicações nas áreas de engenharia elétrica e eletrônica.

Palavras-Chave: Modelagem matemática. Circuito elétrico. Carga elétrica. Simulação.

1. Introdução

Em várias áreas da engenharia existe a necessidade da modelagem do comportamento de algum sistema em termos matemáticos. Esta modelagem começa com a identificação das variáveis que são responsáveis pelas mudanças de estado no sistema e com hipóteses relacionadas ao sistema. O modelo matemático é muitas vezes descrito por uma equação diferencial e espera-se que ele tenha uma solução que descreva de forma mais próxima possível o comportamento do sistema (ZILL; CULLEN, 2001).

Este trabalho apresenta a modelagem matemática de um circuito RLC série.

Através desta modelagem chega-se a uma equação diferencial linear de segunda

ordem que pode descrever o comportamento ou o estado das cargas e correntes

elétricas de um circuito elétrico RLC série. A partir da implementação desta equação

diferencial em diagrama de blocos na ferramenta computacional Matlab/Simulink,

são realizadas algumas simulações computacionais. Através dos resultados destas

simulações e sua análise, é possível concluir como se comportam algumas

grandezas elétricas nesta forma de circuito.

O trabalho está organizado da seguinte forma: na Seção 2 é apresentado o

estado da arte de uma solução existente. Na seção 3 é apresentada a modelagem

matemática do circuito RLC série. Na seção 4 são apresentados os resultados das

simulações computacionais, e finalmente na seção 5 é apresentada a conclusão

deste trabalho.

2. Revisão do estado da arte

O tema para este trabalho foi retirado do livro: Equações Diferenciais de

Dennis G. Zill e Michael R. Cullen, onde um modelo matemático que descreve o

comportamento das cargas e correntes elétricas de um circuito RLC (i.e., Resistor,

Indutor e Capacitor) é citado.

Sistemas físicos em grande parte podem ser descritos por uma equação

diferencial linear de segunda ordem. Se i(t) representa a corrente elétrica do circuito

elétrico RLC série, então, pela segunda lei de Kirchhoff, a soma da queda de tensão

sobre o resistor, sobre o indutor e sobre o capacitor é igual à voltagem aplicada a

um circuito, conforme pode ser representada pela seguinte expressão

(