Atps Algebra

Foram feitas pesquisas sobre empresas e descobrimos que o uso de matrizes são uteis no planejamento. Para explicar utilizamos os exemplos:

1)Uma montadora( na região existem algumas General Motors, Wolkswagem) produz três modelos de veículos, standard ( A), luxo (B) e superluxo( C ), neles podem ser instalados três modelos de pneus F(aro13”), X(aro14”) e Y(aro15”), air bag(D) e direção hidráulica(E) conforme o modelo. A matriz β mostra a quantidade de equipamentos montados em conforme o modelo.

|A |B C |

|β = |F 4 0 0 |

|X |0 4 0 |

|Y |0 0 4 |

|D |2 4 6 |

|E |0 1 1 5x3 |

Na matriz α temos o número de veículos produzidos em uma semana:

|α = |A 600 |

|B |500 |

C 150 3x1

O resultado quantidade de equipamentos utilizados na produção de veículos pela montadora foi:

|β. α = |F 2400 |

|X |2000 |

|Y |600 |

|D |4100 |

|E |650 5x1 ||Site:|http://pt.wikipedia.org/wiki/Determinante |

Passo 3.

Com o resultado do estudo percebemos que precisamos calcular a determinante de uma matriz para se obter um numero real chamada determinante da matriz A.

Definição de determinante: Seja A o conjunto das matrizes com m linhas e n colunas sobre um corpo K. Pode-se provar que existe uma única função F com as seguintes propriedades:

1. F é n-linear e alternada nas linhas das matrizes; 2. F(ln) = 1, onde ln é a matriz identidade Esta função chama-se determinante.

O Determinante de uma matriz A representa-se por [A] ou por det(A)

Propriedades

1. O determinante também é uma função n-linear e alternada nas colunas da matriz; 2. O determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta: det(A) = det(AT );

3. Se uma fila (linha ou coluna) da matriz é composta de zeros, então o determinante desta matriz será zero; 4. Se escrevermos cada elemento de uma linha ou coluna de A como soma de duas parcelas então det(A) é a soma de dois determinantes de ordem n cada um considerando como elemento daquela linha ou coluna uma das parcelas, e repetindo as demais linhas ou colunas;

5. Se uma matriz é triangular (superior ou inferior) o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal; 6. Multiplicando uma fila (linha ou coluna) de uma matriz A por um escalar λ ∈ K, então o determinante da nova matriz é igual ao determinante de A multiplicado por λ; 7. Se permutarmos duas linhas ou colunas de A então o determinante da nova matriz é −det(A); 8. Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então det(A) = 0; 9. Se somarmos a uma linha (ou coluna) de A um múltiplo de outra linha (ou coluna), o determinante da nova matriz é igual ao de A; 10. Se A e B são matriz quadradas da mesma ordem, então det(AB) = det(A).det(B);

1. Se A é invertível, então det(A−1 ) = 1⁄det(A), de onde resulta que se A é invertível então det(A) ≠ 0; 12. Se A é ortogonal, então det(A) = ±1.

|Exemplo: | |

|Ex1 |1 2 1 . 5 - 2 . 4 = 5 - 8 = -3 |

|4 |5 2x2 |

|Diagonal |Diagonal |

|Secundaria |Principal |

Em matriz 3x3 repete as duas primeiras colunas e multiplica as três diagonais no sentido da principal e mantém o sinal do número encontrado na diagonal principal, depois multiplica as três diagonais secundaria invertendo o sinal do valor encontrado e soma com o valor da diagonal principal.

|Ex1 |1 2 3 1 2 |

|5 |4 3 5 4 |

|2 |1 0 2 1 |

Propriedades:

1 - Se a matriz tiver coluna ou uma linha com todos os números zero seu determinante será "0"

Exemplo:

|Ex1 |3 0 1 |

|2 |0 4 = Det. = 0 |

|8 |0 5 3x3|

2 - Se a matriz tiver duas linhas ou colunas que repete o seu determinante será "0".

Exemplo:

|Ex1 |1 2 1 |

|5 |3 5 = Det. = 0 |

|4 |4 4 3x3 |

3 - Se a matriz tiver uma coluna ou linha formada pela combinação de outras duas linhas ou colunas o seu determinante será "0".

Exemplo:

|Ex1 |2 2 1 |

|1 |4 5 = Det. = 0 |

|3 |6 6 3x3 |

OBS:a primeira linha + a segunda linha = terceira linha.

4 - Se a matriz possui dois triângulos de zero ou seja só a diagonal principal for diferente de zero seu determinante será o resultado da multiplicação da diagonal principal.

Exemplo:

|Ex1 |1 0 0 |

|0 |2 0 = Det. = 0 |

|0 |0 3 3x3 |

|5 - O determinante de uma matriz será igual a da sua matriz transposta | |

Exemplo:

|Ex1 |A = 2 3 At = 2 5 |

|5 |1 2x2 3 1 2x2 |

|-15 |+ 2 = -13 -15 + 2 = -13 |

6 - Det(A . B) = Det A . Det B.

Exemplo:

|Ex1