MATEMATICA APLICADA

MATEMÁTICA APLICADA

Apresentação

Caro aluno:

A contextualização e a aplicação dos conteúdos matemáticos (já estudados) contemplarão o objetivo geral da disciplina Matemática Aplicada à Administração. Este objetivo tem a finalidade de – por meio de formulações e modelos matemáticos, do desenvolvimento do raciocínio lógico, do espírito de investigação e da habilidade em solucionar problemas – transformar os problemas desse campo profissional, com base nas condições dadas, em métodos e modelos dedutíveis que sirvam para obter resultados válidos e, principalmente, para possibilitar que você se expresse de maneira crítica e criativa na solução das questões que se apresentem.

O material está dividido em duas partes. Primeiramente, estudaremos demanda, oferta de mercado e preço/quantidade de equilíbrio. Na segunda parte abordaremos receita e custo total, ponto de nivelamento e lucro total. Os conteúdos estão apresentados de forma didática e por meio de exemplos. Sugere-se, como complemento de estudo, a utilização de outras bibliografias.

Obs.: durante as aulas (estudos e provas), se for necessário, utilize uma calculadora simples para facilitar os cálculos.

1. Demanda de mercado

Conforme Silva (1999), a função que a todo preço (P) associa a demanda ou a procura de mercado é denominada função demanda ou função procura de mercado da utilidade, no período considerado. A representação gráfica dessa função constitui a curva de demanda ou de procura da utilidade.

Exemplo

Considere a função D = 10 – 2P, onde P é o preço por unidade do bem ou serviço e D a demanda de mercado correspondente.

Para que ocorra “mercado”, as condições básicas devem ser:

• preço maior que “zero” (P > 0);

• demanda ou procura pelo produto maior que “zero” (D > 0).

Observe

Ao admitirmos D > 0, ocorre:

Portanto, o preço do produto, nessa situação, varia entre 0 e R$ 5,00.

0 < P < R$ 5,00.

Ao admitirmos P > 0, ocorre:

Como

Portanto, a demanda (procura) pelo produto, nessa situação, varia entre 0 e 10 unidades.

0 < D < 10 unidades.

Para representar graficamente essa situação, podemos construir a seguinte “tabela”:

D = 10 – 2P = 10 – 2.(0) = 10 – 0 = 10 unidades.

Demanda (D): quantidade

Observe o gráfico acima:

- variação do preço: 0 < P < R$ 5,00;

- variação da demanda: 0 < D < 10 unidades;

- conforme o preço aumenta, a demanda ou procura pelo produto diminui, tornando tal função decrescente.

Nesse caso, onde D = 10 – 2P, pode-se dizer que, quando o preço do produto aumenta uma unidade, a procura pelo produto diminui em duas unidades.

Exemplo

Ainda nesse caso, o preço do produto, quando D = 4 unidades, é de P = R$ 3,00.

Veja:

Ainda no mesmo caso, quando D > 4 unidades, os preços poderão variar: P < R$ 3,00.

Veja:

2. Oferta de mercado

Conforme Silva (1999), a função que a todo preço (P) associa a oferta de mercado é denominada função oferta de mercado da utilidade, no período considerado. A representação gráfica dessa função constitui a curva de oferta da utilidade no período.

Exemplo

Considere a função S = – 8 + 2P, onde P é o preço por unidade do bem ou serviço e S é a correspondente oferta de mercado. Sabe-se que P < R$ 10,00.

Para que ocorra “mercado”, o produto deve ser oferecido para venda, portanto: (S > 0).

Observe

Ao admitirmos S > 0, ocorre:

Portanto, o preço do produto, nessa situação, deverá ser maior que R$ 4,00. Ou seja, o produto será oferecido ao cliente somente com preços maiores do que R$ 4,00.

Exemplo

Para P = R$ 4,00

Temos:

S = – 8 + 2.(4) = – 8 + 8 = 0 unidades oferecidas para venda.

Para P = R$ 5,00

Temos:

S = – 8 + 2.(5) = – 8 + 10 = 2 unidades oferecidas para venda.

Para P = R$ 6,00

Temos:

S = – 8 + 2.(6) = – 8 + 12 = 4 unidades oferecidas para venda.

Para representar graficamente essa situação, podemos construir a seguinte “tabela”:

Atenção: adota-se P = 10, pois o “problema”, nesse caso, diz que P ≤ R$ 10,00.

Para P = 10

S = – 8 + 2P = – 8 + 2.(10) = – 8 + 20 = 12 unidades.

Observe o gráfico acima:

- o oferecimento do produto existirá para preços acima de R$ 4,00;

- conforme o preço aumenta, o oferecimento (S) do produto aumenta também, tornando a função crescente. Note-se que, para o vendedor, quanto maior o preço do produto, mais produtos oferecerá para venda. Mas será que a procura (demanda) pelo produto será satisfatória?

(Veremos isso em seguida).

3. Preço e quantidade de equilíbrio

Conforme Silva (1999), o preço de mercado (PE) para dada utilidade é o preço para o qual a demanda e a oferta de mercado dessa utilidade coincidem. A quantidade correspondente ao preço de equilíbrio é denominada quantidade de equilíbrio de mercado da utilidade (QE).

Considere os casos D = 40 – 2P e S = –15 + 3P, com P ≤ R$ 20,00. A representação gráfica para tais casos:

Demanda (a tabela se constrói como no exemplo anterior):

Oferta (a tabela se constrói como no exemplo anterior):

Observando o gráfico:

• na função demanda: quanto maior o preço, menor a procura pelo produto (gráfico decrescente);

• na função oferta: quando maior o preço, maior é o oferecimento do produto (gráfico crescente).

Sabemos que preços elevados de um produto possibilitam a obtenção de maior lucro e, por isso, para o vendedor, quanto mais alto o preço do produto oferecido, maior será seu lucro. No entanto, não podemos esquecer que a procura pelo produto está vinculada, também, a seu preço de venda e que ocorre de maneira inversa a seu oferecimento: quanto maior o preço, maior será o oferecimento do produto, porém, menor será sua procura. Daí a importância de um preço (PE) em que a oferta e a demanda sejam comuns (QE) – preço e quantidade de equilíbrio.

Encontrando PE e QE da situação acima (por meio de cálculos):

Dadas as funções D = 40 – 2P e S = –15 + 3P, com P ≤ R$ 20,00, encontrar preço de equilíbrio (PE) e quantidade de equilíbrio (QE):

Escolher uma das funções para encontrar QE, por exemplo, D = 40 – 2P:

D = 40 – 2.(11) = 40 – 22 = 18 unidades (QE).

Como D = S, podemos escolher qualquer uma das funções para encontrar QE (dará o mesmo resultado).

4. Resolvendo problemas

1) Considere a função demanda D = 12 – 3P. O preço do produto poderá variar da seguinte maneira:

Ao admitirmos D > 0, ocorre:

Portanto, o preço do produto, nessa situação, varia entre 0 e R$ 4,00.

0 < P < R$ 4,00.

A demanda de mercado de um produto é dada por D = 4.000 – 30P. O valor da demanda correspondente ao preço P = R$ 35,00 é:

Portanto, ao preço de R$ 35,00, existirá procura (demanda) de 2.950 unidades.

3) A demanda de mercado de um produto é dada por D = 5.000 – 30P. A que preço a demanda será de 2.000 unidades?

Portanto, a procura de 2.000 unidades do produto corresponde ao preço de R$ 100,00/unidade.

4) A demanda de mercado de um produto é dada por D = 4.300 – 1 6P. A que preços a demanda ficará entre 500 e 800 unidades?

Os preços variam entre R$ 2 18,75 e R$ 237,50, conforme ocorre a variação da demanda entre 500 e 800 unidades, ou seja, nesse caso, R$ 2 18,75 < P < R$ 237,50.

Considere a função oferta S = – 12 + 3P, com P < R$ 20,00. A partir de que preço haverá oferecimento do produto?

Haverá oferta do produto para preços maiores que R$ 4,00.

5) Considere a função oferta S = – 10 + 0,5P, com P < R$ 60,00. Para quais valores de P (preço) não haverá oferecimento do produto?

Sabe-se que haverá oferta do produto quando S > 0.

Haverá oferta do produto para preços maiores que R$ 20,00 e não haverá oferta do produto para preços compreendidos entre 0 e R$ 20,00 (inclusive R$ 20,00, pois, para P = 20, S = 0).

Portanto, pode-se dizer que não haverá oferta do produto para a seguinte variação de preço: 0 < P < R$ 20,00.

7) Considere a função oferta S = – 12 + 3P, com P < R$ 20,00. Quando P = R$ 20,00, pode-se afirmar que serão oferecidas para venda:

Ao preço de R$ 20,00/unidade, a quantidade oferecida para venda é de 48 unidades.

8) Considere a função oferta S = – 12 + 3P, com P < R$ 20,00. A que preço a oferta será de 30 unidades do produto?

O oferecimento de 30 unidades do produto corresponde ao preço de R$ 14,00.

9) Considere a função oferta S = – 12 + 3P, com P < R$ 20,00. Quais os preços em que a oferta do produto existirá e será menor do que 12 unidades?

P > R$ 4,00 (o oferecimento do produto existirá para preços maiores que R$ 4,00).

Portanto, para preços que variam entre R$ 4,00 e R$ 8,00, o oferecimento do produto existirá e será menor que 12 unidades. Ou seja, nesse caso, R$ 4,00 < P < R$ 8,00.

10) Determinar o preço de equilíbrio (PE) e a quantidade de equilíbrio (QE) no seguinte caso: D = 20 – P e S = –10 + 2P, com P ≤ R$ 20,00.

Escolhe-se uma das funções e substitui-se o valor encontrado (PE) na variável P:

D = 20 – P

D = 20 – 10 = 10 unidades.

Quantidade de equilíbrio (QE) = 10 unidades.

Portanto, ao preço de R$ 10,00/unidade do produto, tem-se quantidades iguais de procura e oferecimento do mesmo.

1. Receita total

Conforme Silva (1999), seja U uma utilidade (bem ou serviço) cujo preço de venda por unidade seja um preço fixo P0, para quantidades entre q1 e q2 unidades. A função dada por RT = P0 . q, com q1 ≤ q ≤ q2, é denominada função receita total ou simplesmente receita total (valor total recebido por uma quantidade de produtos vendidos).

Exemplo:

RT = 3.q, onde 0 ≤ q ≤ 6.

Para representar graficamente essa situação, podemos construir a seguinte “tabela”:

Atenção: respeita-se a restrição em “q” colocada pelo “problema”.

Para q = 0, RT = 3.(0) = 0.

Para q = 6, RT = 3.(6) = R$ 18,00.

A receita total é o valor recebido pela venda de “q” produtos. No exemplo acima, observa-se que a receita total limita-se ao valor de R$ 18,00 quando a quantidade vendida é de 6 unidades, pois o valor unitário do produto é fixo e é de R$ 3,00.

Obs.: quando o preço de uma utilidade não é fixo, a receita total pode variar, pois se o preço muda, a procura pelo produto (demanda = quantidade “q”) também se altera, mudando assim a receita total.

RT = P.D.

Veja o exemplo:

Dada a demanda de mercado D = 20 – 2P, completar o quadro abaixo:

Veja os preços, as demandas e as receitas correspondentes. O que podemos afirmar sobre o quadro acima?

Conforme o preço (P) aumenta, a procura (D) pelo produto diminui. No entanto, a receita total (RT) varia de acordo com o preço do produto e a quantidade de procura (D) pelo mesmo.

Observe:

- se o preço (P) for muito baixo, existirá grande procura (D) pelo produto, mas não necessariamente teremos uma receita total (RT) máxima;

- se o preço (P) for muito alto, existirá pouca procura (D) pelo produto, e também não necessariamente teremos uma receita total (RT) máxima;

- existirá um preço (P) adequado que corresponderá a uma procura (D) que, por sua vez, proporcionará uma receita total (RT) máxima. Veja abaixo.

Considerando D = 48 – 2P, vamos estabelecer a expressão da receita total RT = P.D somente em função da variável D:

1) “Isolando” P em função de D:

2) “Substituindo” em RT = P.D: RT = (24 – 0,5D).D

Qual deverá ser o valor de D (quantidade de procura) que tornará a receita total (RT) máxima?

Vamos calcular:

2) Receita total (RT) máxima em função da procura (D) por determinado produto:

3) Preço correspondente à demanda de 24 unidades do produto:

Portanto, existirá, ao preço (P) de R$ 12,00, uma demanda (D) de 24 unidades do produto para que a receita total (RT), nesse caso, seja a maior possível. Veja o gráfico:

Observando os cálculos e o gráfico acima, podemos dizer que, nesse caso, ao preço (P) de R$ 12,00, temos uma demanda (D) de R$ 24,00, que proporciona uma receita total (RT) máxima de R$ 288,00.

2. Custo total

A função custo total está associada à produção de uma utilidade (valor “gasto” por uma quantidade de bens produzidos).

CT = CF + CV, onde CT é o custo total, CF é o custo fixo e CV é o custo variável.

Exemplo conforme Silva (1999):

O custo variável médio (custo unitário) de produção de certo bem é de R$ 12,00, e o custo fixo associado à produção é de R$ 60,00 para quantidades variáveis na faixa de 0 a 100 unidades.

Se o preço de venda, na mesma faixa, é de R$ 20,00/unidade, identificar:

a) A função custo total (CT): CT = CF + CV

CT = 60 + 12.q

b) A representação gráfica:

c) A função receita total (RT): RT = 20.q

d) O custo total (CT) associado a uma produção de 75 unidades desse bem:

CT = 60 + 12.q

CT = 60 + 12. (75) = 60 + 900 = R$ 960,00.

3. Ponto de nivelamento e lucro total

Ponto de nivelamento

A quantidade (produzida e vendida) de determinada utilidade, que corresponde, ao mesmo tempo, à receita total e ao custo total, chamamos de ponto de nivelamento.

RT = CT

Exemplo conforme Silva (1999):

São dadas as funções RT = 0,4.q e CT = 3 + 0,1.q para 0 ≤ q ≤ 20 unidades de um determinado produto.

O ponto de nivelamento é:

Para uma quantidade qe = 10 unidades (produzida e vendida) de determinada utilidade, temos RT (valor total recebido pela venda) igual ao CT (valor total “gasto” pela produção), portanto, não temos lucro nem prejuízo.

Construindo o gráfico para tal situação:

1) Tabela de valores:

2) Representação gráfica:

Observe no gráfico acima que, nesse caso, para uma quantidade (produzida e vendida) de 10 unidades (qe) dessa utilidade, temos RT = CT = R$ 4,00.

Lucro total

Sejam CT o custo total associado à produção de uma utilidade e RT a receita total referente à venda dessa utilidade.

A função lucro total (LT) associada à produção e à venda da utilidade é dada por:

Vamos analisar o gráfico do exemplo anterior com mais atenção:

- anteriormente observamos que o ponto de nivelamento, nesse caso, é qe = 10 unidades (RT = CT). Não existe lucro nem prejuízo para tal quantidade produzida e vendida;

- para uma quantidade (produzida e vendida) entre 0 e 10 unidades (0 ≤ q < 10), o gráfico do custo está acima do gráfico da receita. Isso significa que, nessa faixa, o custo total é maior que a receita total (CT > RT), ou seja, o “gasto” excede o “valor recebido”. Nessa faixa de bens produzidos e vendidos existirá prejuízo;

- para uma quantidade (produzida e vendida) entre 10 e 20 unidades de determinado bem (10 < q ≤ 20), o gráfico do custo está abaixo do gráfico da receita. Isso significa que, nessa faixa, o custo total é menor que a receita total (CT < RT), ou seja, o “valor recebido” excede o “gasto”. Nessa faixa de bens produzidos e vendidos existirá lucro.

Tudo isso que foi analisado acima pode ser representado algebricamente e graficamente por meio da função lucro (LT = RT – CT). Veja:

Sabendo que as funções dadas no exemplo foram:

Inserindo a representação gráfica da função lucro:

1) Tabela de valores

2) Representação gráfica

4. Resolvendo problemas

1) Considere a função RT = 13,5.q, onde o preço é fixo (R$ 13,50) e “q” é a quantidade de produtos vendidos (0 ≤ q ≤ 256 unidades). Qual é o valor recebido pela metade dos produtos vendidos?

Nesse caso, a metade dos produtos vendidos é de 128 unidades, visto que a quantidade varia entre 0 e 256 unidades.

Portanto, o valor recebido pela metade dos produtos vendidos é de R$ 1.728,00.

2) Considere a função RT = 20,5.q, onde o preço é fixo (R$ 20,50) e “q” é a quantidade de produtos vendidos (0 ≤ q ≤ 120 unidades). Qual é a quantidade de produtos vendidos quando a receita total atinge o valor de R$ 1.025,00?

Sabendo que RT = 1 .025,00, pode-se afirmar que:

Portanto, a receita total atinge o valor de R$ 1.025,00 quando são vendidas cinquenta unidades do produto.

3) Sabendo que a função custo total CT = 1200 + 8.q está associada à produção de um determinado bem, determine o custo total referente à produção de 230 unidades.

Produção de 230 unidades (q = 230):

Portanto, o custo total referente à produção de 230 unidades do referido bem será de R$ 3.040,00.

4) Sabe-se que a função custo total CT = 2000 + 25.q está associada à produção de um determinado bem. Qual será a produção necessária para se ter um custo total de R$ 5.000,00?

Custo total de R$ 5.000,00 (CT = R$ 5.000,00):

Portanto, a produção necessária para se ter um custo total de R$ 5.000,00 é de 120 unidades do determinado bem.

5) Marcos fabrica determinado produto com um custo fixo de R$ 3,00 e um custo variável de R$ 0,60. Sabendo-se que esse produto é vendido a R$ 0,80 a unidade, Marcos precisa vender, pelo menos, “q” unidades do produto para não ter prejuízo. Qual é o valor de “q”?

Por meio das informações do problema, vamos construir as funções CT e RT:

CT = 3 + 0,60.q (valor “gasto” pela produção de “q” unidades de determinada utilidade).

RT = 0,80.q (valor “recebido” pela venda de “q” unidades de determinada utilidade).

Para não ter prejuízo, pode-se afirmar que: LT ≥ 0.

Nesse caso, a função lucro total é: LT = RT – CT

Para LT ≥ 0, temos q ≥ 15 unidades.

Portanto, para não ter prejuízo, Marcos precisa vender pelo menos 15 unidades do produto. O valor de “q” é de 15 unidades.

6) Considere as funções RT = 3,5.q e CT = 10 + 1,5.q, para 0 ≤ q ≤ 10 unidades de determinada utilidade. O ponto de nivelamento é:

Portanto, para cinco unidades (qe) de produtos produzidos e vendidos, não teremos lucro nem prejuízo (LT = 0).

7) Considere as funções RT = 3.q e CT = 6 + q, para 0 ≤ q ≤ 10 unidades de determinada utilidade. A função lucro total é:

A função lucro total é construída da seguinte maneira:

Portanto, nesse caso, a função lucro total pode ser escrita como LT = 2.q – 6.

8) Considere a função lucro total LT = 8.q – 3.600, para 0 ≤ q ≤ 1.500 unidades de um determinado bem. Qual é o lucro total referente à produção de 600 unidades dessa utilidade?

Portanto, o lucro total referente à produção de 600 unidades dessa utilidade é de R$ 1 .200,00.

9) 9) Considere a função lucro total LT = 7.q – 3.500, para 0 ≤ q ≤ 2.000 unidades de determinado bem. Qual será a produção necessária para que ocorra RT = CT?

Observe que a RT = CT corresponde a LT = 0.

Portanto:

Será necessária uma produção de 500 unidades desse bem para que ocorra RT = CT, ou seja, para que não ocorra lucro nem prejuízo.

5. Referências bibliográficas

MUROLO, A. C.; BONETTO, G. A. Matemática aplicada à administra ção, economia e contabilidade. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2004.

SILVA, Sebastião M. da; SILVA, Elio M. da; SILVA, Ermes M. da. Matemática para os cursos de economia, administração, ciências contábeis. Vol 1. São Paulo: Atlas, 1999.

. Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2002.

VERAS, L. L. Matemática aplicada à economia: sínteses da teoria: mais de 300 exercícios resolvidos e propostos com respostas. 3. ed. São Paulo: Atlas, 1999.