Matematica Financeira

Índice

1. Juros Simples 4

2. Juros compostos 4

3. Cálculos 5

4. Series de pagamentos 6

4.1. Séries de pagamentos uniformes postecipados. 7

4.2. Serie de pagamentos uniformes antecipadas 7

4.3. Séries de Pagamentos Uniformes ou Seqüência Uniforme 7

4.4. Anuidades 7

4.5. Anuidades Antecipadas 8

4.6. Cálculos 9

5. Juros compostos 10

5.1. Alta dos juros 11

5.2. Juros de mora 12

5.3. Taxas a juros compostos 12

6. Amortização 13

6.1. Sistema de Pagamento Único 14

6.2. Sistema de Pagamentos Variáveis 14

6.3. Sistema Americano 14

6.4. Sistema de Amortização Constante (SAC) 14

6.5. Sistema Price (Sistema Francês) 15

6.6. Sistema de Amortização Misto (SAM) 15

6.7. Sistema Alemão 15

7. Objetivo do Desafio 17

8. Considerações Finais 18

9. Referencias Bibliográficas 18

Introdução

Neste desafio levará a aprofundar nossos conhecimentos no nosso dia a dia no controle das finanças. O nosso objetivo de compreender e aplicarmos os procedimentos na nossa vida pessoal, profissional e bancária. E isso se dará através dos cálculos e formulas que servirá de base para este estudo. Vamos fazer uma reeducação financeira da Família à que estamos estudando, pois conforme Ana e Marcelo estão querendo aumentar a família com a chegada de um novo Bebe, então o que faz ao casal a pensar o quanto custa ter um filho neste país que vivemos, desde pequeno até chegar a faculdade. Mas como todo bom brasileiro, o casal vive atualmente cheio de dívidas e gastos desnecessários. Por isso decidiram ter bons hábitos financeiros.

E ao final de todas as etapas vamos similar o valor gasto de um casal jovem, e quanto custa criar um filho até o seu crescimento.

1. Juros Simples

Juros é o custo do capital quando se faz um empréstimo. Para calcular este valor é utilizada a taxa de juros. Como para a operação de crédito existe sempre o fornecedor do empréstimo e o tomador do recurso, o juro é também a remuneração para quem empresta. A maneira como a taxa incide sobre o capital inicial define diversos tipos de juros.

No Regime de Capitalização Simples, a taxa de juros (i) deve ser sempre aplicada sobre o capital inicial (PV). Por isso, o valor do juro é igual em cada período da aplicação. Ou seja, o juro do primeiro mês, é igual ao juro no segundo mês e assim sucessivamente (J1 = J2= J3…=J n). Consequentemente, o saldo crescerá linearmente em relação ao tempo. As taxas de juros simples são proporcionais.

2. Juros compostos

No regime de capitalização composto, os juros produzidos no final de cada período são acrescentados ao saldo do mês anterior, o que faz com que os saldos de cada período formem uma progressão geométrica, ou seja, uma função exponencial em relação ao período de aplicação.

No regime de capitalização simples, o valor dos juros é sempre constante, pois é calculado sobre o valor inicial da aplicação, enquanto no regime de capitalização composto, os juros são calculados em função do saldo de cada período de aplicação.

A diferença entre uma HP-12C e as calculadoras convencionais está na forma de entrada dos dados. As calculadoras convencionais executam cálculos de uma forma direta, ou seja, obedecendo a sequencia natural da Matemática.

A HP-12C funciona com o sistema de entrada de dados RPN (Notação Polonesa Reversa), onde colocamos primeiro os dados, separados pela tecla ENTER, e depois as operações.

Por esse motivo essa calculadora se tornou uma das principais ferramentas dessa disciplina, pois consegue tornar cálculos extensos e complicados em cálculos simples e fáceis.

3. Cálculos

Caso A

I- O valor pago por Marcelo e Ana para a realização do casamento foi de R$19.968,17.

Roupas dos noivos = 12 x R$ 256,25 = R$ 3.075,00

Buffet = 25% + 75% + Juros do empréstimo=

R$ 2.646,50 + 7939,50 + 2060,50 = R$12.646,50

Demais serviços contratados = R$ 7.072,6042

Total: R$ 3.075,00 + R$12.646,50+ R$ 7.072,6042 = R$22.794,1042

Portanto a afirmação está errada.

II – A taxa efetiva de remuneração do empréstimo concedido pelo amigo foi de Marcelo e Ana foi de 2,3342% ao mês.

i = 10 log.(M/C) - 1 = 10 log.(10000/7939,5) - 1 = 10 log.(10000/7939,5) - 1 = 100.0100206846 - 1 = 0,2334

n 10 10

i = 2,334% a.m.

Portanto a afirmação está certa.

III – O juro do cheque especial cobrado pelo banco em 10 dias, referente ao valor emprestado de R$6.893,17, foi de R$358,91.

Juros simples:

J = C*i*n

J= 6893,17*0,0781*0,3333

J = R$ 179,434247

Juros compostos:

J = C*[(1+i)n – 1]

J = 6893,17*[(1+0,0781)0,3333 – 1]

J = 6893,17*[1,02538098633355-1]

J = 6893,17*0, 02538098633355

J = R$ 174,955453

A afirmação está errada.

Obs.: De acordo com a pesquisa feita a respeito do cheque especial, a taxa de juros e o sistema utilizado variam de acordo com a instituição financeira. Portanto é possível que seja juros compostos ou juros simples. Por isso o grupo resolveu apresentar os dois cálculos.

Caso B

Marcelo e Ana pagariam mais juros se, em vez de utilizar o cheque especial disponibilizado pelo banco no pagamento de R$ 6.893,17, o casal tivesse optado por emprestar de seu amigo a mesma quantia a uma taxa de juros compostos de 7,81% ao mês, pelo mesmo período de 10 dias de utilização.

J = C*[(1+i)n – 1]

J = 6893,17*[(1+0,0781)0,3333 – 1]

J = 6893,17*[1,02538098633355-1]

J = 6893,17*0, 02538098633355

J = R$ 174,955453

Se a taxa de juros do cheque especial for de juros simples pagariam menos juros e se fosse de juros compostos pagariam a mesma quantia de juros. Portanto a afirmativa está errada.

4. Series de pagamentos

São aquelas em que os pagamentos ou recebimentos são constantes e ocorrem em intervalos iguais. Para classificar estes conceitos, vamos interpretar as palavras.

Séries-número de coisas ou eventos, semelhantes ou relacionados, dispostos ou ocorrendo em sucessão espacial ou temporal.

Uniformes-que tem uma só forma; igual, idêntico; muito semelhantes.

Pagamentos - cumprimento efetivo da obrigação exigível.

4.1. Séries de pagamentos uniformes postecipados.

São aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1; este sistema étambém chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada(0 +n).Sendo informados uma taxa(i), um prazo(n) e o valor de um pagamento ou prestação (PMT) será possível calcular o valor presente(PV) de uma série de pagamentos postecipada através desta formula.

PV=PMT (1+i)n-i

(1+i)n.i

4.2. Serie de pagamentos uniformes antecipadas

As séries uniformes de pagamentos antecipados são aqueles em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero). Este tipo de sistema de pagamento é também

chamado de sistema de pagamento com entrada (1 + n).

Dada a Prestação (PMT), Calcular o Valor Presente (PV)

Sendo informados a taxa (i), um prazo (n) e valor da prestação (PMT) será possível calcular o valor presente (PV) de uma série de pagamento antecipada através da seguinte fórmula:

PV = PMT (1 + i )n-1

(1+i )n-1.i

4.3. Séries de Pagamentos Uniformes ou Seqüência Uniforme

Dizemos que uma série de pagamentos é uniforme se, isto é, se todos pagamentos ou prestações forem iguais.

4.4. Anuidades

Anuidades, rendas certas, prestações, ou série de pagamentos são sucessões de pagamentos, ou recebimentos, exigíveis em épocas predeterminadas, destinadas a extinguir uma dívida ou construir um capital.

Símbolos

PMT ou R – cada pagamento, termo ou prestação de série;

(PMT nas calculadoras)

PV ou P – valor atual da anuidade (principal, valor presente ou capital inicial);

(PV nas calculadoras)

FV ou S – valor futuro da anuidade (montante, capital a construir) (FV nas calculadoras)

n – número de prestações;

i – taxa unitária de juros

Cálculo do Principal (P)

É uma soma de termos de uma progressão geométrica:

a1 = 1º termo = 1/(1+i)

q = razão = 1/(1+i)

Sn = soma dos termos PG = P = a1.(qn-1)/(q-1)

4.5. Anuidades Antecipadas

Conhecidas no comércio como sistema de prestações com entrada, ou seja, a primeira pré

stação é paga no ato da compra.

Valor Atual de um Fluxo de Caixa Antecipada

É a soma dos valores atuais (principais) de cada um de seus termos (inclusive anuidades)

Cálculo do Principal (P)

4.6. Cálculos

Caso A

I. O parelho de DVD/ Blue – Ray custou R$ 600,00

Valor inicial da teve R$4.800

Valor Pago da TV com – 10% R$4.320,00

Valor do Dvd R$4.800,00 – R$4.320,00 =R$480,00

Afirmação errada

Caso B

Coleta de dados:

P=30.000,00

n=12

i=2,8

Afirmação I certa

P CLX

30.000,00 CHS PV

0 FV

12 n

2,8 i

PMT resultado 2.977,99

Afirmação II Certa

f clx

g 7

30.000,00 PV

0 FV

12 n

2,8 i

PMT resultado 2.896,88

Afirmação III Errada

I f CLX 30.000,00 PV 2,8 i 3 n 0 PMT VF =-32591,22

II f CLX -32.591,22 PV 2,8 i 12 n 0 FV PMT =3.013,86

5. Juros compostos

M=P*

J=M-P

O juro é o preço do dinheiro aplicado ou emprestado. Por isso, você pagará uma taxa se tomar dinheiro emprestado de um banco, por exemplo. Essa taxa, de juros, é o valor que o dono do dinheiro cobra pelo tempo que não poderá usá-lo, uma vez que estava empresado. Num exemplo oposto, você pode receber juros ao deixar seu dinheiro render em uma aplicação financeira durante algum tempo.

Juros compostos são os juros de um determinado período somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes.

O atual sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, pois ele oferece uma maior rentabilidade quando comparado ao regime de juros simples, uma vez que juros compostos incidem mês a mês, de acordo com o somatório acumulativo do capital com o rendimento mensal. Juros compostos são muito usados no comércio, como em bancos. Os juros compostos são utilizados na remuneração das cadernetas de poupança, e é conhecido como “juro sobre juro”.

As taxas de juros variam de acordo com o contrato, com a aplicação, o risco, dentre outros fatores. é usada em operações e empréstimos de curto prazo entre os bancos, balizando todas as demais, como os juros do parcelamento da compra de um eletrodoméstico, por exemplo.

O Banco Central criou a Taxa Selic em 1979 para facilitar a negociação de títulos públicos federais negociados com os bancos.

Diminuir os juros significa que vale a pena pegar dinheiro emprestado. Com a baixa rentabilidade das aplicações em títulos do governo (como os títulos da dívida pública), os bancos, financeiras, empresas e outros investidores preferem emprestar dinheiro e financiar outros projetos e produtos, em busca de melhores rendimentos.

Portanto, as compras parceladas e o crédito em geral ficam mais atrativos para o consumidor e, assim, a população passa a comprar mais. Esse crescimento da demanda pressiona os preços, que tendem a subir, gerando aumento da inflação. É por isso que a definição da Selic pelo BC é uma das principais formas de controlar a inflação. Mas os preços podem aumentar caso a indústria nacional não esteja preparada para produzir mais. Com os juros baixos, as fábricas contam com um custo favorável, por exemplo, para financiar a compra de máquinas para, assim, ampliar a produção e atender os consumidores.

A queda dos juros diminui também o custo da dívida do governo, que fica com mais dinheiro para os investimentos necessários no Brasil.

5.1. Alta dos juros

Quando os juros sobem, as compras a prazo e os financiamentos ficam mais caros. Por isso, os consumidores preferem comprar menos e muitas empresas não tomam grandes empréstimos, por exemplo, para investir em novas máquinas (que elevaria a produção, num momento em que os consumidores também estão receosos pelo aumento dos juros do parcelamento).

Com as compras em queda, a inflação também tende a baixar. No entanto, a alta dos juros não significa uma queda automática da inflação, assim como a queda dos juros não implica aumento dos preços. Afinal, na economia como um todo, outros fatores – como o câmbio, gastos públicos, entre outros – atuam diretamente para o aumento ou baixa da inflação.

O aumento dos juros influi também nos investimentos financeiros. É que muitos deles são indexados pela Taxa Selic, como os Fundos DI e de Renda Fixa.

O Comitê de Política Monetária (Copom), criado em 1996, é o órgão do Banco Central responsável pela definição das diretrizes da política monetária e da taxa básica de juros.

5.2. Juros de mora

Juros de mora é uma taxa percentual sobre o atraso do pagamento de um título de crédito em um determinado período de tempo. Os juros de mora são a pena imposta ao devedor pelo atraso no cumprimento de sua obrigação. O juro de mora funciona como uma espécie de indenização pelo retardamento na execução do débito, os juros podem ser convencionados entre as partes ou, na ausência de convenção, serão aplicados os juros determinados pela lei. São acréscimos permitidos em lei ao credor de uma dívida, é um mecanismo legal para evitar o calote dos que estão devendo. Para calcular o valor dos juros de mora pode-se somar a taxa Selic desde a do mês seguinte ao do vencimento do tributo até a do mês anterior ao do pagamento, e acrescentar a esta soma 1% referente ao mês de pagamento, ou também pode-se aplicar a taxa do juro de mora sobre o valor do tributo ou contribuição devido, é permitido por lei no máximo, 2% do valor da parcela em atraso. O não-pagamento de qualquer tipo de conta na data de vencimento, obrigatoriamente resulta na cobrança de multa ou juros de mora.

5.3. Taxas a juros compostos

Caso A

I. A taxa média diária

= 1,6 = =0,02

II. A taxa media mensal :

Jn= P*i*n

i=0,02*30=0,6

III- A taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 10,8% ao ano, capitalizada mensalmente, é de 11, 3509%.

if= ( 1 + i)k - 1

k

if = ( 1 + 0,108) ¹²

12

if= ( 1,009) ¹²

i= 11, 3509%

Caso B

Coleta de dados:

Aumento do salário 25,78% = In

Inflação do período 121,03 = Ij

Perda real do período =Ir

In = = = 0,2578

Ij= = =1,2103

(1+in)=(I+ir)*(1+ij)

(1+0,2578)=1,2578

(1+1,2103)=2,2103

1,2578=(1+ir)*(2,2103)

(1+ir)= =0,5691

Ir= 0,5691-1

Ir =-0,4309

-0,4309*100=-43,0900

6. Amortização

Amortização é um processo de quitação de uma dívida através de pagamentos periódicos, que são efetuados em função de um planejamento, fazendo com que cada prestação corresponda à soma do reembolso do Capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos.

Os principais sistemas de amortização são:

• Sistema de Pagamento único

• Sistema de Pagamentos variáveis

• Sistema Americano

• Sistema de Amortização Constante (SAC)

• Sistema Price ou Francês (PRICE)

• Sistema de Amortização Misto (SAM)

• Sistema Alemão:

Em todos os sistemas de amortização, cada pagamento é a soma do valor amortizado com os juros do saldo devedor, isto é:

Pagamento = Amortização + Juros

6.1. Sistema de Pagamento Único

O devedor paga o Montante=Capital + Juros compostos da dívida em um único pagamento ao final das parcelas. O Montante pode ser calculado pela fórmula:

M = C (1+i)n

Uso frequente: Letras de câmbio, Títulos descontados em bancos, Certificados a prazo fixo com renda final.

6.2. Sistema de Pagamentos Variáveis

O devedor paga o periodicamente valores variáveis de acordo com a sua condição e de acordo com o combinado acertado inicialmente, sendo que os juros do Saldo devedor são pagos sempre ao final de cada período.

Uso frequente: Cartões de crédito.

6.3. Sistema Americano

O devedor paga o Principal em um único pagamento no final e no final de cada prestação, realiza o pagamento dos juros do Saldo devedor daquela prestação. No final de todas as parcelas, o devedor paga também os juros da ultima parcela.

6.4. Sistema de Amortização Constante (SAC)

O devedor paga o Principal em parcelas sendo que as amortizações são sempre constantes e iguais.

Uso frequente: Sistema Financeiro da Habitação

6.5. Sistema Price (Sistema Francês)

Todas as parcelas (pagamentos) são iguais.

Uso frequente: Financiamentos em geral de bens de consumo.

Cálculo: O cálculo da prestação P é o produto do valor financiado pelo coeficiente K dado pela fórmula

Onde i é a taxa ao período e n é o número de parcelas.

6.6. Sistema de Amortização Misto (SAM)

Cada parcela (pagamento) é a média aritmética das prestações respectivas no Sistemas Price e no Sistema de Amortização Constante (SAC).

Uso frequente: Financiamentos do Sistema Financeiro da Habitação.

Cálculo:

PSAM = (PPrice + PSAC) ÷ 2

6.7. Sistema Alemão

O sistema Alemão consiste em quitar uma dívida onde os juros são pagos antecipadamente em parcelas iguais, exceto o primeiro pagamento que corresponde aos juros cobrados no momento da operação financeira. É necessário conhecer o valor de cada parcela P e os valores das amortizações Ak, k=1,2,3,...,n.

Uso frequente: Alguns financiamentos.

Fórmulas necessárias: Para k=1, 2,...,n.

Caso A

Dados:

A= Valor da Parcela amortizada

SDo= saldo devedor inicial

n= Número de períodos

*= multiplicação

A=30.000,00 ÷12=2,500,00

Taxa=2,8/100= 0,028

n=12

Jn= 〖SD〗_(n-1) *1

Tabela

n SD A J PMT

0 30.000,00

1 27.500,00 2.500,00 840,00 3.340,00

2 25.000,00 2.500,00 770,00 3.270,00

3 22.500,00 2.500,00 630,00 3.130,00

4 20.000,00 2.500,00 560,00 3.060,00

5 17.500,00 2.500,00 490,00 2.990,00

6 15.000,00 2.500,00 420,00 2.920,00

7 12.500,00 2.500,00 350,00 2.850,00

8 10.000,00 2.500,00 280,00 2.780,00

9 7.500,00 2.500,00 210,00 2.710,00

10 5.000,00 2.500,00 140,00 2.640,00

11 2.500,00 2.500,00 70,00 2.570,00

12 0 2.500,00 - 2.500,00

Total 30.000,00 34.690,00

Caso B

F CLX

30.000,00 CHS PV

0 FV

12 n

2,8 i

PMT 2.978,0

7. Objetivo do Desafio

O valor aproximado que Ana e Marcelo terão de desembolsar com o filho do nascimento até faculdade será de:

R$ 311.956,31

8. Considerações Finais

Esta atividade levou o grupo a pesquisar e aprofundar ainda mais os conhecimentos a respeito de capitalização simples e composta.

E para auxiliar na tarefa de colocar esse conhecimento em prática, conhecemos a calculadora HP 12C que é uma ferramenta muito utilizada nesse tipo de atividade. A sua principal função é simplificar cálculos extensos e complicados.

Aprendemos também a respeito de planejamento financeiro e cartão de crédito. Como se organizar e como evitar o endividamento no cartão de crédito.

Vimos ainda taxas a juros e suas consequências quando o uso é mal planejado. E quais os valores dessas taxas praticados no Brasil.

Estudamos também amortização de empréstimos, seus conceitos e tipos. Conhecemos cada um dos tipos de amortização e quais as situações são aplicadas.

Após realizarmos todas as pesquisas resolvemos os cálculos utilizando o conteúdo aprendido e as ferramentas disponíveis.

O desafio proposto ao grupo levou a nos aperfeiçoarmos em vários aspectos, ampliando nossos aprendizados como administradores.

9. Referencias Bibliográficas

http://www.interfaceconsultoria.net/home/index.php?option=com_content&view=article&id=20&Itemid=53

http://www.brasilescola.com/matematica/series-pagamentos-uniformes.htm

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/financeira/amortiza/amortiza.htm

GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática Financeira. São Paulo: Pearson Education, 2009