Matematica Financeira

Introdução

«A transformação do dinheiro no tempo só pode ser feita a partir da determinação dos juros, ou seja do custo do dinheiro ao longo do tempo»

É intuitivo afirmar que o valor do dinheiro muda ao longo do tempo. Uma quantidade de recursos hoje vale mais que essa mesma quantidade de recursos no futuro ou seja receber 100 R$ hoje vale mais do que receber 100 R$ daqui a um mês ou daqui a um ano. Esta diferença deve-se à equivalência do dinheiro no tempo, que ocorre devido à inflação, à incerteza quanto a receber esse dinheiro no futuro (risco de crédito) ou quanto ao valor exato que se irá receber (risco de mercado) e ainda à possibilidade de poder investir essa quantia hoje e receber mais no futuro.

É importante notar então que, como o dinheiro perde o seu valor ao longo do tempo, os juros são a única forma de garantir que o valor financeiro disponível hoje seja equivalente ao que teremos no futuro.

As taxas de juros devem portanto, ser eficientes de maneira a remunerar (i) a perda do poder de compra do capital, motivada pela inflação; (ii) o risco envolvido na operação de empréstimo ou aplicação, representado genericamente pela incerteza em relação ao futuro e ainda (iii) a privação da liquidez - os juros devem gerar um lucro (ou ganho) ao proprietário do capital como forma de o remunerar ou compensar a sua privação por determinado período de tempo. Este ganho é estabelecido basicamente em função das diversas outras oportunidades de investimentos - custo de oportunidade (em economia define-se como o custo de desistir de um ganho certo hoje para trocá-lo por um ganho futuro). O custo de oportunidade é, portanto, o valor/custo do dinheiro.

“Se quiseres ser rico, não aprende só o modo de ganhar, aprende, também, o modo de administrar a tua riqueza.” Benjamin Franklin”

Justificativa

Assim, podemos definir o juro como a remuneração de um capital financeiro/ investimento durante um certo prazo. É a remuneração pelo consumo adiado e que depende totalmente do tempo.

Para quem empresta, os juros são uma compensação pela transferência do usufruto do capital. Já para quem investe, os juros representam o retorno de um capital investido.

J.M. Keynes justifica o facto de uma quantia não ter o mesmo valor consoante fique disponível imediatamente ou apenas daqui a algum tempo, através da “preferência pela liquidez”. Segundo o economista, temos preferência pela liquidez porque, estando na posse de ativos líquidos, podemos escolher a forma de os aplicar (seja em consumo e/ou em poupança).

Para além do Keynes, outras teorias e estudos surgiram com o objetivo de explicar e justificar a existência do juro, como por exemplo a teoria da “preferência pelo tempo”, da autoria da Escola Austríaca de Economistas, que afirma que a existência de juro deve-se à necessidade de indução de atividades económicas que consomem mais tempo e são mais produtivas.

Na Idade Média já existiam estudos sobre o conceito de juro, sendo este considerado usura e até condenado pela Igreja Católica.

Com base no que vimos anteriormente, o tempo tem extrema importância em qualquer análise que envolva capitais e, portanto, é necessário atribuir-lhe um valor. Esse valor é o juro.

A importância do fator tempo faz com que, na resolução de qualquer problema que envolva capitais reportados a diferentes momentos, exista a necessidade de homogeneizar os capitais numa mesma unidade, ou seja, reportá-los ao mesmo momento. Podemos fazê-lo através de uma equação matemática que traduz a equivalência entre os capitais envolvidos nesse momento – a equação de equivalência ou de valor. Para a construção correta dessa equação é necessário ter em conta três fatores, dos quais depende o juro:

1. Capital

2. Tempo

3. (Taxa de) juro

O juro varia diretamente com qualquer dos fatores anteriores, ou seja, aumenta quando qualquer um deles aumenta e os outros dois se mantêm constantes e diminui quando qualquer um deles diminui, mantendo-se os restantes constantes. Assim, “Para comparar ou operar com capitais é necessário que estes estejam reportados ao mesmo período de tempo”.

Desenvolvimento

A aplicação de um capital inicial (Valor presente ou principal) durante um determinado período de tempo, a uma determinada taxa de juro, resulta num determinado rendimento (juro). Ao fim desse período de tempo, o capital inicial transforma-se num montante capitalizado (capital acumulado ou Valor futuro).

A operação que consiste em adicionar o juro do período ao capital inicial chama-se operação de capitalização. Um processo de capitalização decorre ao longo de n (n> 0) períodos de capitalização, podendo a taxa de juro em vigor para cada um desses períodos ser fixa ou variável. O estudo do processo de capitalização permite-nos, entre outras coisas, calcular, em função da taxa de juro, quanto vai valer num momento futuro, um capital colocado em capitalização num momento anterior.

A atualização ou desconto é o processo de cálculo inverso à capitalização, pelo qual podemos calcular, em função da taxa de juro, quanto vale num momento anterior um capital vencível num momento posterior.

A frequência com que em cada operação financeira se processa o juro designa-se por período de capitalização. O que acontece no final de um período de capitalização, no processo de geração do juro, faz surgir dois tipos diferentes de regimes de capitalização: regime de juros simples e regime de juros compostos.

Regime de juros simples:

O juro sai do processo de capitalização, isto é, não vai gerar juro no (s) período (s) seguinte (s). Neste caso diz-se que vigora o Regime de Juro Simples, podendo ainda distinguir-se dentro dele dois sub-regimes – o Regime de Juro Simples “Puro” e o Regime de Juro “Dito” Simples. No primeiro sub-regime, o juro produzido em cada período de tempo é efetivamente pago, enquanto que no segundo o juro produzido é simplesmente retido (ou seja ainda que não sendo pago, ele não vai gerar juro nos períodos seguintes). De forma resumida, importa reter que em ambos os casos, o juro produzido num determinado período não irá gerar juro nos períodos seguintes.

Os juros são retirados logo que se vencem