Prova De Matematica

Olá a todos!

Vamos a um último esforço! Falta pouco, pessoall!! AP3 chegando e vou tentar fazer um EP de revisão para lembrarmos o que já ficou para trás. De novo, lembrando o que tinha dito para a AP2: não adianta me perguntar as questões da prova. Não lembro mais como está a cara dela! Já faz muito tempo que está preparada!! Vamos é lembrar do que é preciso saber para essa prova, ok?

Em primeiro lugar, falamos sobre as funções, lembram? Definimos funções, falamos sobre domínio e imagem delas.

Em seguida, falamos sobre Limites. Conceito de limites, cálculo de limites. Limites no infinito e limites infinitos.

Continuando, usamos limite para definir a Derivada. Vimos algumas aplicações da derivada, como coeficiente angular da reta tangente, o conceito de “marginal”, máximos e mínimos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão.

Para concluir, fomos estudar as integrais, ou seja, fomos “reverter” as derivadas. Vimos também algumas aplicações como áreas, entre outras.

Refaça os Eps, desde o primeiro, reveja as Ads e Aps, aproveite o feriadão para estudar bastante e procure os tutores a distância, presencial e eu! Devo estar meio fora do MSN amanhã, mas prometo deixar o computador ligado direto no feriado... qualquer coisa demoro um pouquinho mas respondo, ok? Pode deixar também sua dúvida na sala de tutoria. O que não pode é deixar de estudar e ficar com as dúvidas pendentes!

Vou fazer mais uns exercícios para você não ficar só com os que já tinha. Já vou deixar o gabarito, mas não olhe antes de tentar fazer! Como diziam uns alunos meus de S.Fidelis: “puxar bigode de onça morta é fácil. Quero ver puxar com ela viva!!” 

Bons estudos!

Maria Helena Mello

Exercícios

1. Determine o domínio de cada uma das funções abaixo:

a)

b)

c)

d)

2. Calcule os limites a seguir:

a)

b)

c)

d)

3. Calcule as derivadas das funções abaixo:

a)

b)

c)

d)

4. Calcule as integrais a seguir:

a.

b.

c.

d.

e.

4. Determine os máximos e mínimos de cada uma das funções abaixo.

a)

b)

c)

d)

e)

5. Na fabricação de um produto, o custo, em reais, para produzir q unidades é dado por . Obtenha a função Custo Marginal

6. Em uma fábrica de ventiladores, a receita na venda de um tipo de ventilador é dada por onde . Suponha que o custo para a produção de q ventiladores seja dado por . Determine:

a) a função lucro

b) a função lucro marginal

c) o lucro marginal para um nível de produção de q = 100 e q = 200.

d) A quantidade que dá o lucro máximo.

7. Para um determinado produto, a taxa de variação da produção em relação à quantidade de insumo x é dada por x2. Determine

a) A expressão que dá a Produção em função de x.

b) a variação total da produção no intervalo de x = 4 até x = 14

8. Determine a área entre as curvas y = 12x e y = 3x2

9. Na comercialização de um certo produto, a receita marginal é dada por –10q + 100 e o custo marginal é dado por 2,5 q, ambos em reais. Para o intervalo , determine:

a) a variação total da receita

b) a variação total do custo

c) a variação total do lucro

Solução:

1.

a)

Como é uma função polinomial, não há nenhuma restrição, ou seja, qualquer valor de x real pode ser utilizado e teremos algum resultado para a função. Logo, o domínio será o conjunto dos reais.

b)

Nesse caso teremos uma restrição que é o fato de o denominador não poder ser nulo, certo? O que anula o denominador? X2 –1 = 0 , então (x-1)(x+ 1) = 0, ou seja, x = 1 e x = -1. Portanto no meu domínio não podem aparecer esses valores. Assim sendo, o domínio será o conjunto dos reais excluindo o –1 e o 1. Podemos representar de várias formas, como por exemplo R – {-1,1}, (- ,-1) (-1,1) (1,+ ), entre outras. Mas lembrando que o domínio de uma função é um CONJUNTO. Não é uma desigualdade, ok?

c)

Aqui a restrição é que temos uma raiz quadrada. Para que haja um resultado real, o que está dentro da raiz tem que ser positivo ou nulo. Então, temos que obrigar que . Para pensarmos... um produto é positivo se os dois fatores forem positivos ou se os dois fatores forem negativos, certo? Então, é útil fazermos o “quadro de sinais” (embora, nesse caso, seja uma função do segundo grau e a maioria já sabe de cor a regra do sinal da função... ). Neste caso, teremos

X<-2 X=-2 -2<x<0 X=0 x>0

X - - - 0 +

X+2 - 0 + + +

X(x+2) + 0 - 0 +

Portanto, o produto será positivo se x<-2 ou se x> 0. Assim sendo, o domínio será {x R| x -2 ou x 0}, ou se preferir apresentar em termos de intervalo, (- ,-2] [0,+ ).

d)

Aqui fica mais complexo... mas nada de grave! Vamos fazer o que aprendemos de melhor com Descartes! Dividir em partes menores para podermos resolver o problema! Primeiro eu vejo uma raiz quadrada, certo? Então o primeiro problema é que o que está dentro da raiz não pode ser nulo. Então, tenho que ter . Tudo bem até aqui? Vamos olhar para o que sobrou. Temos uma fração, que no fundo é um produto, não é? Então, temos que ter os fatores para analisar o sinal desse “produto”, não é isso? O denominador já está fatorado (quase! Só o x2 – 9 que não está, mas isso é simples, até eu sei que x2 – 9 = (x-3)(x+3), ok?). Vamos nos concentrar então no numerador. Veja que temos um polinômio de grau 3. Não temos uma fórmula como temos para achar as raízes de um polinômio de grau 2. Mas sabemos o algoritmo de Briot-Ruffini... e sabemos “chutar” uma raiz. De imediato, x = 1 é uma raiz dele (porque? Some os coeficientes do polinômio. 1+1-10+8 = 0!). Portanto, fica fácil para reduzirmos para um polinômio