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Números Complexos, uma abordagem histórica

A abordagem aprofundada aos números complexos, apesar de ter sido feita a partir do séc. XVIII foi mencionada levemente por outros matemáticos anteriores à data. No entanto, dada a incompreensão e o desconhecimento destes números, tais matemáticos abandonaram o seu estudo. O primeiro matemático de que se tem conhecimento de se ter deparado com um problema que envolvia números complexos foi Héron de Alexandria (séc. I dC) no livro Stereometrica.

Por volta do ano 275 dC, Diophanto (200-284 aprox.) ao resolver um problema deparou-se com a equação: 24x2 - 172x + 336 = 0

Como concluiu que não tinha soluções reais, não viu necessidade de dar sentido à raiz Ö.761-

Bhaskara (1114-1185 aprox.), um dos indianos que mais perto chegou das ideias da álgebra moderna (conhecia a regra "menos por menos dá mais", trabalhava com coeficientes negativos, etc.) reconhecia que a equação x2 - 45x = 250 era satisfeita por dois valores x = 5 e x = -5 mas, dizia que não considerava a segunda pois as pessoas não "apreciavam" raízes negativas.

Gerônimo Cardano (1501-1576) considerava que o aparecimento de raízes quadradas de números negativos na resolução de um problema indicava que o mesmo não tinha solução. No entanto, foi Cardano que, em 1545, mencionou pela primeira vez os números complexos. Nasua obra Ars Magna de Cardano, falava do seguinte problema: "Determinar dois números cuja soma seja 10 e o produto seja 40". Para tal, considerou as expressões 5 + Ö15 e 5 - Ö-15. Cardano ficou por aqui, não dando significado a estas expressões, pondo de lado a "tortura mental" envolvida mas, teve o mérito de ter sido o primeiro a considerá-las, até porque neste tempo os números negativos eram evitados.

Cardano (1501-1576). A partir disto é possível derrubar a ideia errada de que os números complexos surgiram com as equações do segundo grau. Os números complexos apareceram sim, a partir das equações de terceiro grau.Mas, foram preciso cerca de 25 anos para este tema ser de novo considerado, por Raffaelle Bombelli (1526-1572) numa obra de nome Algebra. Ao resolver a equação x3 = 15x + 4, Bombelli utilizou a "fórmula de Cardano" obtendo a seguinte solução (em notação moderna): x = 3Ö(2 + Ö-121) + 3Ö(2 - Ö-121)

Ele achou estranho este resultado porque conhecia todas as raízes da equação, entre as quais x = 4. Teve então a estranha ideia de procurar a e b positivos tais que:

a + bÖ-1 = 3Ö(2 + Ö-121) , a - bÖ-1 = 3Ö(2 - Ö-121)

Com alguma manipulação algébrica, usando as mesmas regras que usava para os números reais, mais a propriedade (Ö-1)2 = -1, chegou ao resultado a = 2 e b = 1, donde sai x = 4.

O próprio Bombelli não estava bem seguro do que havia criado. Para os demais matemáticos da época, os números complexos eram vistos com suspeita e quanto muito tolerados, na falta de melhor coisa. É de referir que alguns matemáticos da época procuraram maneiras de evitar o uso de tais números. Entre eles, Cardano foi o que mais tentou evitar as "torturas mentais" envolvidas no uso de raízes quadradas de negativos. No seu livro De Regula Aliza, de 1570, procurou artifícios