ESTRUTURAS ALGÉBRICAS DEFINIDAS POR UMA OPERAÇÃO EM UM CONJUNTO

ESTRUTURAS ALGÉBRICAS DEFINIDAS

POR UMA OPERAÇÃO EM UM CONJUNTO

1. SEMIGRUPO:

Seja E, E[pic 1], um conjunto e * uma operação sobre E.

Dizemos que * define uma estrutura de semigrupo em E se, e somente se, valer

propriedade associativa para * em E.

1. SEMIGRUPO COMUTATIVO:

    Seja (E,*) um semigrupo de modo que * também apresente a propriedade comutativa em E, neste caso dizemos que (E,*) é um semigrupo comutativo.

    C. MONÓIDE:

    Seja E um conjunto não-vazio e * uma operação em E.

    Dizemos que * define uma estrutura de monóide sobre E se, e somente se, *

apresentar as propriedades associativa e elemento neutro em E.

    D. MONÓIDE COMUTATIVO:

    Seja (E,*) um monóide em que a operação * também apresente a propriedade comutativa em E, daí diremos que (E,*) é um monóide comutativo.

    E. GRUPO:

    Seja E um conjunto não-vazio e * uma operação em E.

    Diremos que * define uma estrutura de grupo sobre E ou que (E,*) é um grupo se * apresentar as propriedades associativa, elemento neutro e elemento simétrico em E.

    F. GRUPO ABELIANO OU GRUPO COMUTATIVO:

    Seja (E,*) um grupo.

    Se * em E apresentar também a propriedade comutativa, diremos que (E,*) é um grupo abeliano ou comutativo.

OBS : Se a operação * for a adição ou a multiplicação habituais, chamaremos o grupo de grupo aditivo ou grupo multiplicativo.

EX : 1) (, +) é ...............................................[pic 2]

       2) (, .) é .................................................[pic 3]

       3) ([pic 4], +) é .................................................

       4) ([pic 5], . ) é ..................................................

       5) (, .) é.....................................................[pic 6]

     G. SUBGRUPO:

     Seja (E,*) um grupo.

     Seja o subconjunto H, H não-vazio, de E.

     (H, *) é um subgrupo de (E, *) se:

[pic 7]

EXERCÍCIOS

H. HOMOMORFISMO ENTRE GRUPOS

Sejam (G, *) e (J, #) grupos quaisquer.

A aplicação f:G [pic 8] J será denominada homomorfismo de G em J se, e somente se,

[pic 9]

                

OBS:

Seja f: G [pic 10] J um homomorfismo, f será denominada:

MONOMORFISMO quando f é um HOMOMORFISMO INJETOR

EPIMORFISMO      quando f é um HOMOMORFISMO SOBREJETOR

...