O Método de Indução nos Números Inteiros

O método de indução nos números inteiros

Sabemos que as ciências naturais investigam os fenômenos utilizando os métodos de indução e dedução. A indução é uma operação que estabelece uma proposição geral com base no conhecimento de um certo número de dados, e a dedução estabelece uma proposição geral com base em uma ou mais premissas com uma correta aplicação das regras da Lógica. Na Matemática, em particular, o método da indução é muito importante como processo de descoberta, mas preferimos a dedução como forma de construir o conhecimento matemático na esperança de obter um corpo científico duradouro.

Vale para 1, 2, 3, ..., n, vale sempre?

É perceptível, por experiências anteriores que não, uma vez que, a História da Matemática, traz alguns relatos de alguns matemáticos neste sentido, como no caso de Fermat, ilustre matemático do século XVII. Ele observou que:

2²^(0) + 1 = 2 é primo;

2²^(1) + 1 = 5 é primo;

2²^(2) + 1 = 17 é primo;

2²^(3) + 1 = 257 é primo;

2²^(4) + 1 = 65 537 é primo.

Porém, no século seguinte, Euler, mostrou que: 2²^(5) + 1 = 4 294 967 297 = 641 × 6 700 417 não é primo, contrariando a conjectura de Fermat.

Suponhamos que estejamos interessados em obter uma fórmula para 1+2+2²+. . .+2^(n) sendo n um número natural qualquer. Uma fórmula talvez semelhante a 1+2+3+. . .+n = n(n+1)/2, a qual já conhecemos, e que nos permite calcular uma soma 1 + 2 + 3 + . . . + n com valor de n dado sem necessidade de adicionar os números um a um. Para obter a fórmula desejada iniciamos com o método indutivo e observamos o que ocorre para n = 0, n = 1, n = 2, etc. temos

1 = 1,

1 + 2 = 3,

1 + 2 + 2² = 7,

1 + 2 + 2² + 2³ = 15,

Se estivermos bem atentos e se esperamos encontrar uma fórmula envolvendo potências de 2, podemos observar que os resultados particulares obtidos são antecessores de potências de 2: 1 = 2¹ − 1, 3 = 2² − 1, 7 = 2³ − 1, 15 = 2^(4) − 1. Isto nos leva a induzir a seguinte generalização: O método da indução completa

1 + 2 + 2² + 2³ + · · · + 2^(n) = 2^(n+1) − 1, para todo n ∈ N.

Esta propriedade, no momento, é uma conjectura. Não sabemos se é verdadeira para todo n ∈ N, mas temos alguns motivos para crer que seja. Podemos aumentar essa crença examinando mais casos, n = 4, n = 5, etc. Mais aí estaríamos tentando o método de dedução, e não provando que ela é verdadeira para todo e qualquer número natural n. A melhor forma de resolvermos essa conjectura é primeiro passo utilizando n=0 provando isso como verdade; agora provaremos para todo número natural n, e para todo número natural n+1.

tendo em vista que a conjectura e verdadeira para todo n ∈ N ,e para todo n+1, provamos então que e verdade para todo número natural nos conjuntos dos inteiros