O Resumo de Tese

 Resumo sobre minha tese

O principal objetivo deste trabalho é dimensionar a resolução livre minimal graduada de um

ideal homogêneo em termos dos graus de seus geradores. Em geral, isto é um

um objetivo ambicioso. Conforme entendido, dimensionar significa olhar atentamente para os dois

parâmetros disponíveis: os shifts e os números Betti. Como em geral as cotas para os shifts podem se comportar de forma bastante abrupta, filtramos esta dificuldade pela subaditividade

das sizígias. Espera-se que o método que aplicamos seja novo e dê

luz sobre a estrutura da resolução livre minimal. Para os números de Betti,

aplicamos as técnicas de Boij-S\"oderberg para obter cotas superiores polinomiais para

eles. Damos uma atenção especial para ideais que possuem resolução livre minimal graduada linear ou linear até uma certa etapa. A teoria de grafos se mostrou propícia para aplicarmos os resultados aqui estabelecidos, justamente por oferecer muitos exemplos de ideais com resoluções  livres minimais  graduadas lineares até uma certa etapa.

Palavras-chave: resoluções, números de Betti, regularidade, álgebra de Koszul, condição $N_{d,q}$.

Abstract

The main goal of this work is to size up the minimal graded free resolution of a

homogeneous ideal in terms of its generating degrees. By and large, this is too ambitious

an objective. As understood, sizing up means looking closely at the two available

parameters: the shifts and the Betti numbers. Since, in general, bounds for the shifts

can behave quite steeply, we filter the difficulty by the subadditivity of the syzygies. The

method we applied is hopefully new and sheds additional light on the structure of the

minimal free resolution. For the Betti numbers, we apply the Boij-S\"oderberg techniques

in order to get polynomial upper bounds for them. We give a special attention to ideals which have linear or linear graded minimal free resolution up to a determined

stage. The Graph theory proved to be suitable for us to apply the results here

established, precisely because it offers several examples of ideals with

linear graded minimal free resolution up to a certain stage.

Keywords: resolution, Betti numbers, regularity, Koszul algebra, $N_{d,q}$ conditions.

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