RESUMO SOBRE CRÔNICAS
Por: Lucasouzza • 25/8/2015 • Trabalho acadêmico • 1.970 Palavras (8 Páginas) • 181 Visualizações
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
LUIZ RAFAEL DANTAS DE CARVALHO ARAÚJO
RESUMO SOBRE CÔNICAS
São Cristovão – SE
2011
LUIZ RAFAEL DANTAS DE CARVALHO ARAÚJO
RESUMO SOBRE CÔNICAS
Trabalho sobre Cônicas desenvolvido durante a disciplina de Vetores e Geometria Analítica, como parte integral da terceira avaliação.
Professor: Geraldo Ferreira Souza Júnior
São Cristovão – SE
2011
ÍNDICE
PARÁBOLA............................................................................................................pág. 04
ELIPSE....................................................................................................................pág. 07
HIPÉRBOLE...........................................................................................................pág. 10
PARÁBOLA
[pic 1]
A parábola é a cônica que representa o conjunto de pontos ao redor de um único foco, o qual estabelece uma relação de simetria com uma diretriz.
[pic 2]
Relacionando os pontos da parábola a seu foco e sua diretriz. Observemos que o ponto [pic 3] e a reta [pic 4] são o foco e a diretriz da parábola quando se estabelece a relação [pic 5]. |
Logo abaixo do foco, o ponto [pic 6] é conhecido como vértice, que se estabelece como o ponto mínimo absoluto no gráfico da parábola.
A distância entre o foco e o vértice é a mesma do vértice para a diretriz, os pontos na parábola mantém a mesma distância do foco e da diretriz.
A simetria nos sugere que podemos encontrar uma relação simples para uma parábola cujo vértice está no ponto [pic 7] e que possui foco no ponto [pic 8]. Fazendo a relação de simetria temos:
[pic 9]; [pic 10]; [pic 11].
O que nos permite fazer: [pic 12]
Então: [pic 13]
E eis nossa equação quadrática para esta parábola primária estabelecida nos eixos.
Esta relação é meramente funcional para o foco no eixo das ordenadas, se quisermos fazer uma equivalência de variáveis e estabelece-la para as abscissas, teremos:
[pic 14]
Generalizando para o plano cartesiano [pic 15], temos a equação acima como um conjunto particular da equação mais geral, onde podemos observar [pic 16] e [pic 17] como a distância entre foco e vértice, considerando-o como parâmetro independente da posição, neste caso podemos escrever:
[pic 18] ou, [pic 19].
Para cada um dos casos acima, identificando [pic 20] como distância foco-vértice. Esta denominação nos faz pensar em uma equação independente de posição.
Tomando como base o vértice, podemos dizer que, se o mesmo tem coordenada [pic 21] temos:
[pic 22] ou, [pic 23].
Exercícios
1º) Encontrar os parâmetros da parábola: [pic 24].
Façamos a adaptação da equação para o formato que nos permita analisar os valores:
[pic 25].
[pic 26].
[pic 27]
Como podemos verificar o vértice da parábola está no ponto [pic 28]. Uma vez que a equação representa uma função onde a variável das abscissas tem grau 2, o foco e o vértice da parábola estão no mesmo valor de [pic 29]e como o parâmetro [pic 30], temos o valor do foco:
[pic 31]
E a diretriz é:
[pic 32]
2º) Encontrar a equação da parábola cujo vértice está na coordenada [pic 33]e está distante da sua diretriz [pic 34] unidades, sabendo que a concavidade da mesma está voltada para cima.
Como a concavidade da parábola está voltada para cima, temos o foco e o vértice para o mesmo valor de [pic 35]que tem grau 2:
[pic 36]
[pic 37]
[pic 38]
A equação é:
[pic 39]
ELIPSE
[pic 40]
A elipse é uma cônica definida por um conjunto de pontos ao redor de dois focos, onde a soma das distâncias entre um ponto e cada foco é uma constante.
[pic 41]
Neste gráfico a distância focal é de [pic 42] e [pic 43] é constante para todos os pontos da elipse do gráfico. Os pontos [pic 44] são os vértices da elipse, enquanto que [pic 45] são os pontos de menor raio. |
A equação da elipse pode ser encontrada, como no caso anterior da parábola, explorando a propriedade de simetria dos diversos pontos, os quais mantém a soma das duas distâncias para os focos sempre igual para todos os pontos da curva. Podemos fazer: [pic 46]
Sendo [pic 47], um ponto qualquer e [pic 48]a constante. Conforme observamos no gráfico, temos dois lados simétricos onde a distância ao foco de cada lado é [pic 49], a altura é [pic 50]e uma distância entre o foco e o ponto [pic 51] que é [pic 52], o que nos leva a dizer que [pic 53], portanto: [pic 54]
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